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4/ 無限等比級数の図形への応用
(2)POQ=0 とおくと, (1) より
8
83
zy 平面上に, 2直線 y=xとl:y=2x
とがある。 直線上の点P (1,1) を通りに垂
直な直線との交点をQ とし,点Q を通り
に垂直な直線との交点をP とする.
以下同様に,上の点P を通りに垂直な
直線との交点をQnとし, Q を通りに垂
Y
12:y=2x
ao
sin=
OP。 √10
√10 (0<<)
Ly=x
[PQncos0QnP+1
XpPo (1,1)
...
直な直線ととの交点をP+1として,直線上の点Po, Pi, Pz, ・・・お
よび直線上の点Qo, Q1, Q2,
を定め, PrQn=an (n=0, 1, ...) と
おく.このとき,次の問いに答えよ.
10°
(1) α を求めよ.
なかも
(2) an+1 を an で表せ.
次に,∠PQP+1=∠QnPn+1Q+1=0より
QP+1 cos 0=Pn+1Qn+1
QnP+1 を消去して
Pn+1Qn+1=cos20PQn
an+1= cos20.an
cos20=1-sin²0=1-
an+1= an
lim PQ すなわち lim
n→∞k=0
だから,
YA
Q
Q
Pa
Pa+1
1
9
0
=
より
10 10
akは、
n→∞k=0
(
(3) lim PkQk * * D L .
n→∞k=0
初項 店,公比
あるので
10
-1<-
<<1 だから,収束して
10
9 の無限等比級数を表し (46ポイント)
精講
「以下同様に」という文言がポイントです. この文言があるときは、
漸化式をつくることになりますが、 1つだけコツがあります. それ
は,初項を求めるための図とは別に, 漸化式をつくるための図をか
くことです. 問題文の図を利用して(1)も(2)も解こうとすると,図がゴチャゴチ
ャしてわかりにくくなります.
1
1
その和は,
=2√5
√5
9
1
10
ポイント
点列ができる図形の問題では、 初項を求めるための図
と漸化式をつくるための図の2つをかく
また,(3), limΣの形からもわかる通り、無限級数の和がテーマです.
(46
解答
(1) Po(1,1) と直線 2x-y=0 の距離:y=2xc
がα だから,
演習問題 47
h:y=x
ao
Po
1-----
|2-1|
1
ao=
5
ことができ
√22+(-1)2
(IIB ベク34点と直線の距離)
To
x
10
点P (n=0, 1, 2, …)をx座標が1/7(a>0)である放物線
y=x2上の点とする. 2点PとP+1 を結ぶ線分と放物線によっ
て囲まれる部分の面積を An とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) A をαで表せ.
(2) Anna で表せ.
(3) Anaで表せ.
n=0
