-
![]()
(1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ、
472
基本 例題106 約数の個数と総和
000
正の約数の総和は(1+カ+が+…+が) (1+q+q°+…+q)(1+r+"+…+r)
重
p.468 基本事項
指
指針>約数の個数,総和に関する問題では,次のことを利用するとよい
自然数Nの素因数分解がN=p°q°r.…となるとき
正の約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)…
(3) 56の倍数で、正の約数の個数が 15個である自然数 nを求め、
p, 9, r,
..は素数。
は奇数の素数)素数のうに
2°gre……… (a21, b20, c20, …; q, r,
と表され、
その総和は
(2) のを利用し,nの方程式を作る。
(3) 正の約数の個数 15を積で表し, 指数となるa, 6,
15を積で表すと, 15-1, 5-3であるから, nはか5q'-1 またはがg°-1の形、
偶数は20
「1+ の部分がない。
(2+2°+…+2°)(1+q+q°+…+q°)(1+r+r?+…+re).…. みた
S.Y
の値を決めるとよい。
1
5-1。3-1
自動
CHART 約数の個数,総和 素因数分解した式を利用
がg'rの正の約数の個数は (a+1)(6+1)(c+1) (b, q, rは素数
解答
(1) 360=2°-33-5 であるから, 正の約数の個数は S=
(3+1)(2+1)(1+1)=4·3·2=D24 (個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
(積の法則を利用しても効
られる(b.309参照)。
(2+2°+2°)(1+3+3')(1+5)=D14·13·6=1092
外1-
2) 12"=(2°·3)"=D2m.3" であるから, 12" の正の約数が 28個
であるための条件は
2n°+3n-27=0
((ab)"=a"b", (α')"=d"
のところを2nnとし
たら誤り。
(2n+1)(n+1)=28
よって
nは自然数であるから
ゆえに
(n-3)(2n+9)=0
nの正の約数の個数は15(=15·1=5·3) であるから, nは
n=3
が または が(か, qは異なる素数)
の形で表される。
っは56の倍数であり, 56=2°-7 であるか
一表される。したがって
(15-1から か5ーg"
がー-1
続す
5.2 から
と 。
