22
OOOO0
重要例題55 関数の作成
図のような1辺の長さが2の正三角形 ABC がある。点P
が頂点Aを出発し、, 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す
とき、線分 APを1辺とする正方形の面積」、を,出発後
の時間x(秒)の関数として表し,そのグラフをかけ。
ただし,点Pが点Aにあるときは 3y=0 とする。
a, bo
合 で
、ol
B
CHART OS。
変域によって式が異なる関数の作成
① xの変域はどうなるか
2 面積の表し方が変わるときのxの値は何か 一 x=2, 4
点Pが辺 BC上にあるときの AP2 の値は, 三平方の定理から求める。
OLUTION
二分け
一解く
0SxS6
する
解答
y=AP* であり, 条件から, xの変域は
[1] ×3D0, x=6 のとき
[2] 0<x<2 のとき
0SxS6
点Pが点Aにあるから
点Pは辺 AB上にあって
ソ=0
AP=x
P
P
よって
y=x
4
点Pは辺 BC上にある。
辺BCの中点をMとすると, BCIAM であり
PM=1-(x-2)=3-x
PM=(x-2)-1=x-3
[3] 2<x<4 のとき
B
C月
P
M
BM=1
x-2
よって, 2<x<3 のとき
結局 2<x<4 のとき
PM=|x-3|
3<x<4 のとき
ここで
AM=/3
ゆえに, AP?=PM?+AM° から
[4] 4<x<6 のとき
AP=(AC-PC)? から
y=(x-3)?+3
点Pは辺CA 上にあり, PC=x-4,
頂点(3, 3), 軸 x=3
の放物線
{2-(x-4)}?=(6-x)
=(x-6)?
頂点(6, 0),軸 x=6
の放物線
x=0, y=0 は y=x° に,
x=6, y=0 は y=(x-6)?
に含められる。
II
1
y=(x-6)
]~(4] から
1
1
0SxS2 のときy=x*
2<x<4 のとき y=(x-3)*+3
4<x<6 のとき y=(x-6)
グラフは右の図の実線部分 である。
3
I
0
234
6
x
本
