【漸化式】逆数をとって部分分数分解をしないで計算をしようとしたのですが、この方法が間違っている理由を教えてください。

例題 276 例題 290 潮 Xα=1,nan+1=(n+1)an+2 (n=1,2,3,・・・) で定められた数列( の一般項を求めよ。 思考プロセス bn ar 対応を考える 例 (n+1)an+1 対応 例題290 では 〓=〓 I nan+1 階差型 bn+1=bm+f(n) Action》 漸化式f(n)an+1=f(n+1)an+gは,両辺をf(n)f(n+1)で割れ an+1 n+1 an n - よって n≧2のとき bn=61+ (n+1)an+2 対応 = 20+2 の場合, nan = bn とおくと 対応 nan+1 = (n+1)an+2 の両辺を n(n+1) で割ると 2 n(n+1) 6n+1=6n+ とおくと an n bn+1-bn n-1 + 1 = 4 2 k=1k(k+1) 2 n(n+1) n(n+1) で割る 1 = 1 -2/+₁) 2 Te =1+2 n=1 を代入すると1となり = 1+ 2(1-1) = 3-2 n る 3 対応 n-1 An+1 n+1 k=1 k (8) 2 n(n+1) 1 = 1 + 2(( + + + + + + + + ~-~^² + 1 -² -1 ) 2 3 対応 an || bn+1 ← bn とおくと 1 /+//+//+// n-1 18 1 k+ 1/ bn+1=6n+2 2 n(n+1) 05. })} if(n)an+1=f(n+1)+1 の両辺をf(n)f(n+1) で割ると = an q + f(n) f(n)f(n+1) 階差数列を利用する。 an+1 f(n+1) 161 - an 1 = 1 Re Action 例題 276 「分数の数列の和は 分数分解せよ」 例題 29 1 a₁ = 2, 一般項を 思考プロセス 例題 29C 規則性 an+1 = Actic (別解 左 解n+ ar

（5）の問題で、なぜ5乗の和を（2乗）×（3乗）-〇〇と表せるのでしょうか？2乗と3乗はどこからきたのですか？

例題 23 対称式の値〔1〕 2文字の対称式 √5-√3 √5+√3 思考プロセス x= √5+√3 √5-√3 , y = (2)xy (1) x+y 前問の結果の利用 (4),(5) は,直接代入してx,ya や x,yを求めるのは大変。 (3) x2+y2 (3) x + y = (x+y)-2xy (4) x+y=(x+y)-3xy(x+y) (5) x+ya のとき、次の式の値を求めよ。 (1)~(5) はいずれも対称式 基本対称式x+y, xy で表される (p.52 Play Back 3 参照)。 p.52 Pla 余分を引く ◆ (x+y)^2 = x2+2xy+y^ (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ ◆ (x+y) の展開は大変 ←(x² + y²) (x³+y³) = _______ (x+y)-[ (x² + y²) (x³+y³)-[ 解 xの分母を有理化すると どちらが (2乗) × (3乗) よいか? Action » 対称式は基本対称式で表せ ★★☆☆ (4) x³+y³ (5) x5+y5 (1)~(5) の5つの式は、 例

この(1)の解説にある赤点線の部分はどういう意味なんですか？？ お願いします🤲

例題 176 極値をもつ条件 次の関数が極値をもつような定数aの値の範囲を求めよ。 x-a (1) f(x)= (ただし, a ≠±1) 2-1 (2) f(x) = (logx)2-2ax (ただし, a>0) 思考プロセス 定義に戻る f(x) が微分可能のとき (f'(a) = 0 となるx=α が存在し,) その前後でf'(x) の符号が変わる 2 (logx-ax) (2) f'(x)= x の部分は定義域内で符号が一定なので の部分に着目して考える。 符号が分からない Action》 f(x) が極値をもつときは,f'(x)=0 の解の前後で符号が変わるとせよ f(x) が極値をもつ (1) f'(x)=x+2ax-1 (x² - 1)² 式を分ける 解 (1) この関数の定義域は x キ±1 f'(x)= (x²-1)-(x-a). 2x (x² − 1)²) 関数 f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x)=0 が実 数解をもち、その実数解の前後でf(x) の符号が変わる ことである。 よって, (x2-1)2>0 であるから, 2次方程式 ... =x2+2ax-1=0 ･･･ ① は少なくとも1つが±1でない, 異なる2つの実数解をもつ。 ① の判別式をDとすると D>0 D 4 = α-1 より a²-1>0 (a+1)(a-1) > 0 の符号を考える。 x2+2ax-1 (x2-1)2 1 ゆえに a<-1, 1 <a ここで、①が2つの実数解 x = ±1 をもつとすると 1+2a-1=0 かつ -1-2a-1=0 であり,これを満たすα は存在しない。 (1) したがって 求めるαの値の範囲は (2) この関数の定義域は x>0 2(logx-ax) -2a= f'(x) = 2(logx)・ x x 関数 f(x) が極値をもつための条件は,f'(x)=0 が実 数解をもち,その実数解の前後でf'(x) の符号が変わる ことである。 よって, g(x)=logx-ax とおくと, g(x) = 0 は実数解 をもち,その実数解の前後で g(x) の符号が変わる。 a<-1, 1<a 分母=x≠0 より x キ±1 (f'(x) の分母)>0 より, f'(x) の分子の符号を考 える。 y=-x2+2ax-1 x f'(x) は x = ±1 にお いて存在しないから, ① の解がx = ±1 のとき f'(x) = 0 は解をもたな ①の2解がx = ±1 とならないことを確かめ 定義域においてf'(x)の 分母は正であるから, 分

(2)で、増減表にx=0を含めるのはなぜですか？

& 例 179 曲線の凹凸とグラフ[2] ･・・無理関数 次の関数の増減値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。 (2) y = √x²(x+5) (1) y=x+√4-2 上に凸と <Action 曲線の凹凸 変曲点は,第2次導関数の符号を調べよ 段階的に考える p.319 まとめ 14 概要の手順で考える。 yやy” が存在しない点がある関数の注意点 ･･･そのxの値を増減凹凸の表に入れ, y'′ やy” の極限を考える。 □ (1) 定義域は 4x≧0より y'=1- y'=0とおくと 724,07( ゆえに 変曲点はない。 また *-(1-7) - y" <0 -2 <x<2のとき よって増減、凹凸は次の表のようになる。 X -2 √√√2 2 X √4-x² √2 のとき 大値2√2 lim y = ∞0 x = √2 5 = y" y -22√2 y=0 とおくと 10 -2≤x≤2 4-x²x6 √√4-x² lim y'= -co x-2-0 がって, グラフは右の図。 (2) 定義域は実数全体である。 y=x3(x+5) = x +5xより 10 3 x=-2 10 9 x=1 y" = 0 とおくと + 0 + 4 (4-x²)√4-x² = >0 2 2 5(x+2) 3³√ x y 2√2 10(x-1) 94 0 2 √22 x 2 例題178) (√の中) 20 チッパーX:0 √4-xよりx≧0 であり 4-x² = x² 2x² = 4 =2より 20であるから x = √2 lim y = ∞ より グラフは点 (-2,-2)で 直線x=-2に接する。 点 (2, 2) においても同様。 √√x²=x* x=0 において, y' は存 在しない。 1x=0 において,yも存 在しない。 「よって増減、凹凸は次の表のようになる。 X y + y -2 0 (0) 2 0 なんで? 変曲点は (1,6) ここで limy = ∞, lim_ y = -00 lim y'= ∞, lim y'= -00 したがって, グラフは右の図。 *** + 1 + 0 34 ゆえに, x=2のとき 極大値394 x=0のとき 極小値0 6 + + Ĵ y=√x²(x+5) y4 Point (1) の関数の図形的な見方 例題179 (1) の関数y=x+√4-x... ① は,2つの関数 y=x･･･ ② と y=√4-x... ③ 34, の和である。 → 式を分ける このことから、 次のように考えることができる。 (ア) グラフの概形 ② のグラフは原点を通る傾き1の直線 ③のグラフは原点中心, 半径2の円の上半分であるから, ①のグラフは右の図のような概形になると予測できる。 (イ) y'の符号 y'の符号は これは、③ すなわち 1-1/201 x の符号から考える。 y'の分子)=√4-xx ③ の方が上にある-2<x<√2ではy'>0 ② の方が上にある√2<x<2では y'<0 (34) 27×4108, 6216 より 3 4 <6 syはx=0の前後で負 | から正に変わるから. x=0で極小値をもつ。 例題173 Point 参照。 (3) (2) ②のグラフの上下から考えることもできる。 |軸に接するようにかく。 グラフは原点Oでy -2 2 3 2 ① 10 y 2 A 2x 5章 関数の増減とグラフ 11 10 22 x 179 次の関数の増減, 極値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。 (1) y = √25-x² (2) y = √√x²-x MM p.346 問題179 335

画像1枚目の波線引いたところなのですが、PQ²=ではないのですか？結果的に1も√1も同じなのでいいですが、公式と違う気がします。

282 体積と極限 曲線 C:y=e* と直線l:y=ax+b (a>0) が2点P(x1, yi),Q(x2, 2) で交わっている。 X2 X1 = c (c>0) とするとき (I) , をaとcを用いて表せ。 (2) PQ=1のとき, 曲線 C と x軸および2直線 x = X1, x = x2 で囲ま 思考プロセス れた図形をx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V(a)に対 V (a) a して, lim 818 (2) 《Action 回転体の体積は,回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 27 ①②より C² = V(a)=xf" V (a) π a = X2 = (1) P, Qは上にあるから また,P,QはC上にもあるから y2 = exi+c = exec = ecy lim a →∞ ズ1 1 1+q² (ex)dx = (x1, x2の式) = = (y1, y2 の式 ) を求めよ。 31 = aJx1 - = (a,cの式) La ここで, PQ=(x^2-x)+(y2-y)^=1 より c² + a²c² = 1 a> 0, c>0 であるから = X2 **(e²)² dx = 2 (e²*₁ — ²x₁) (e2x22x1 2a ac 2 ac 27 (1²2² - 32²) = 2 a {(ace 1 ) ² - (²₁)²} = 2a 2a лaс² (e²+1) 2(ec-1) lim C++0 π だけの式にすると繁雑なので,cの式にする。 y2 = y1+ac ・② acec 2 e-1'¹²e - 1 π 前問の結果の利用 (1) では y1,y2 と α,cの関係を導いた から, y1,y2の式を経由して考える。 より, α →∞ のときc+0 であるから V (a) TC√1-c² (ec +1) a 2(e² - 1) C a= lim 2c+0e-1 √√1-c² C . 1 (大阪大改) √1−c² (eº + 1) · 1 · √1 · (1 + 1) = π 1.T.(1+1)=== P Q が 1, C 上にあるこ とから, x1, X2, yi, Y, acの関係式を考え、そ こから, X1, X2 を消去す る。 y y=ax+b1 y=e^ P * xi x ● ① より Y2-y1 = ac lim c+0 V (a) a と式が繁雑になるから, a を消去してcだけの式 にし,c の極限を考える。 から cを消去する f(x)=e^ とすると =lim-0 C = f'(0) = e° = 1

これの⑴にあるsinC＝の部分がなぜこのように式変形されるかわかりません。どなたかこの工程を教えてください…

sinA sin B Action> 向かい合う辺と角が分かるときは,正弦定理を用いよ (1) 正弦定理により よって sin C = csin A よって a b sin A sin B b= asin B sin A = 10 よって 1 a sin A 2 また 2R = a A = 120°より, 0°C <60° であるから (2) A=180°- (B+C) = 45° C 正弦定理により 105° 2√ 3 sin 120° 6 - C sin C =2R 1 √√2 10sin 30° sin45° a sin A R=5√2 = 5√2 B 10 sin45° A 2√3 = 3 3 b. A 120° 10÷ 6-- 3 /3 12²=²2/1sin 120²-100 = C = 30° 0 C 10 30° D3008 = A $30031 300 2001 = 0 1 √2 √210/2 B R00 C≧60° とすると, 三角 形の内角の和が180°を超 えてしまう。 三角形の内角の和は180° 0 であるから A + B+C = 180° sin 30°= sin45°= = 1 2' /2

(3)は、∑の上がn+1ですが、公式が使えるのですか？？よく分かりません🥲

450 PLUS 211 PALL 例題247 区分求積法 [1] 次の極限値を求めよ。 n (n+1)² (2) lim (3) lim (4) lim COS 1 no k=l2n+k 1 月0k+1 k (3) は limak = lim- 18k=1 ) 12 Σ, (4) 12 =lim 11→ 部分和が求められない。 Action≫ 無限級数 lim 段階的に考える 区分求積法によって, lim a の値を求める手順 110k-1 (1) (与式) lim + =lim π + 2 cos +...+ncos 2n n (n+2) 2 =f'(x)dx = 11 >bk = π ( [x₁ x. 1台 n = n k=1 2π 2n 右の図の長方形の面積の和 1② (1)は、定積分∫f(x)dxとせよ n→∞ nk= n (n+k) ² +･･･ + (2) (5) = limkcos Je=1 2|π =[- -+=1/ であり, ②ではない。 +1 図で考える 右上の図と同様に考えると,積分区間はどうなるか? = lim 2 kπ 2n ←ーをくくり出す。 1を n n (n+n)² k by の式で表す。 n k = xlim = cos(4) n k=1 n 2 n nπ 2n 1 no kn 1 1 dx (+45 +4 k 1+ をxと考える。 π =T -=[ xos xdx = xx (² sin x) dx XCOS 7 n² (n+k) ² sin x-sinxdx) 2 2 - * ( ²² - ²/ [-² cos x]) = 2-4 IT T COS π πC π 0 123 nnn A 出す。 k n 1 189039 (日本大) で表し、12をくくり y=f(x) の形をつくる。 + 以外をΣ の中へ入れ n る。 部分積分法を用いる。 sinx=(-cos) (3) (与式) lim (4) (与式) 〔別解) lim = log3-log2 = = lim 2" 1 k=n+1 k k=1 n = √₁₁ 2 + x dx = [108/2 + x1 ] 3 8/2/20 1 n 2+ 1 k=n+1n 1 1 n+1 n = S₁² = - dx = [10g|x 1] =log2-log1=log2 k=n+k + k n log (2) limlog 1 k よって 1 (4x) = limn+k = lim- 11-0³ 1 n+2 1100Nk1 =lim 1-100 nk=n+1 k m² 2 n + 映画 247 次の極限値を求めよ。 2 (1) + 4+n² 1 n+3 (3) (4¹sin x) n+1 27 n b Point 区分求積法 区分求積法について、 基本的な関係式は lim()-(x)dx Im()-(F(x)dx のようにぃの項の和の形であるが, (3) のような Σゃ k 1+ - 1dx = [log|1 + x1] - log2 -dx= = = n + ･･・ + n+100 さらに 2 となっても積分区間は0から1となる。 k n 3 + 9+n² +･･･+ 21-1001+n² Lim log(n+1) * (+2)* ... (2) * 21-00 1" n+n y4 (4) lim (+) 1 1 12-00 √n+2 n 2²) √2n 012 Inn y=2+x 0 0 123 nn n n+1 n 右端はx=1+- 1 n るが, n→∞ のとき 1であるから, n 積分区間は0から1とな る。 11 =1n+1 n k=n+1 1から2となる。 =1+1 のとき分区間は y=f(x) であ 11 n+100 x n 1+ 100 1 n (n→∞0) 6章 1 区分求積法,面積 (東海大) p.490 問題247 451

積分漸化式です。 (4)は、I(m+n-1，1)が現れるまで繰り返すようですが、このm+n-1と1はどのようにして出てきたのですか？

思考プロセス ★★★ 例題244 mnを自然数とする。定分I(mm) = f(x)dx について (1) I(m, 1) を求めよ。 (2) I(m,n)=I(n, m) を示せ。 (-)-40- (3) n ≧2のとき,I(m,n) をI(m+1, n-1)を用いて表せ。 (4) I(m,n) をm, nを用いて表せ。 《@Action 対応を考える 積分漸化式は, 部分積分法や置換積分法を利用せよ (2) I(n, m) = -S₁x (1-x) dx X 1 (m, n) = √ √x (¹²) (4) (3) ← とおく (3) I(m,n) とI(m+1, n-1)の関係を考える。 I(m,n) = x" (1-x)"dx← = S²² 次数下がる (微分) x (1-x) dx 次数上がる (積分) I(m+1, n-1)= = Sx (1) I(m, 1) = +1 I(m,n) = /(m+1, n-1)=... -1 =√₁ (x² fx™ (1-x) dx xm-xm+1)dx 等しいことを示す。 |x+1 (1-x)"-1dx xm+1 .m +1 mm +2 m+2 (2) 1-x=t とおくと, x=1-t であり dt dx =-1 xtの対応は右のようになるから I(m,n)= -L₁₁ 1 1 1 m+1 m+2 (m+1)(m+2) (1-t)mtn (-1)dt 積の形であるから, 部分積分法 (,1) (1) の利用 x 0→1 t 1 → 0 =fra-t)"de - L'x²-x)- =fx x"(1-x)"dx = I(n, m) ( 東京電機大) 例題243 部分積分法を用いて求め ることもできる。 ola dx=-dt MGA ¶ (3) n ≧2のとき I(m, n) = (43)より、 北m+1 [***(1-x) dx = f(+1)(1-x)" de Sx d= m+ dx mm+1 ・ (1 − x)" ] ) + S •n(1-x) dx xm4 m+1 I(m, n) n m+1 n m+1 m+1 m+1 Jo n m+1 ≧2について n m+1 n-1 m+2 JM +1 1 (1-x)"-1 dx I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) I(m+2, n-2) . n-2 n-1 m+2 m+3 2 m+n- n! (m+1)(m+2)(m+n-1) m!n! (m+n+1)! これは,n=1のときも成り立つ。 したがって I(m,n)= I(m+n-1,1) 1 (m+n)(m+n+1) m!n! (m+n+1)! (x) B(p,q+1)= 4 B(p, q) p+q たが, b, gが正の数であるときの定積分 B(p, y) = 数と呼ばれている (大学数学の内容)。 ベータ関数には次のような性質がある。 (ア) B(p, g) = B(q, b) (イ) pB(p,q+1)=qB(p+1,q) (ウ) B(p +1,g)+B(p, g+1) = B(p,q) 部分積分法を用いる。 √x+(1-x) dx =I(m+1, n-1) I(m, n) n m+1 I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) n-1 m+2 I(m+2, n-2) I(m+2, n-2) n-2 m+3 これらの関係を I (m+n-1,1) が現れる までくり返す。 (m+1)(m+2)(m+n+1) I(m+3, n-3) Point ベータ関数 例題244では,m,nが自然数であるときの定積分I(m,n)= = fox" x" (1-x)"dx を考え P1(1-x)dx はベータ関 (m+n+1)! m! 例題244 (2) と同様 例題244 (3) と同様 6章 定積分 ■244 例題 244 の結果を用いて, 定積分 ∫ x (1-x)* dx を求めよ。 また,自然数 m, nに対して S" (x-a)(x-B)" dx を求めよ。 p.445 問題244

増減表のプラスマイナスの判別の仕方がわかりません。 2Bのときは二次関数や一次関数だったのでできたのですが、、、 この問題の場合はどのように考えればよいのでしょうか？

なる 称となる。 f(x) x 0で よ。 大) 1 e 190 例題191 最大・最小の図形への応用〔1〕･･・ 面積 曲線 y=logx 上の点P(t, logt) (0<t < 1) における接線とx軸, y 軸との交点をそれぞれ Q, R とおく。 また、原点を0とするとき, △OQR の面積の最大値およびそのときのtの値を求めよ。 OVE 139 図をかく 右の図の△OQR の面積の最大値を求めるために, y' = △QQRの面積をtの式(=S(t)) で表したい。 I.点P(t, logt) における接線の方程式を求める。 ⅡI. 点Q, R の座標を求める。 II. △QQR = S(t) を求め,0 <t <1における最大値を求める。 O Action》長さ・面積・体積の最大・最小は,1変数で表して微分せよ 程式は 1 であるから,点P(t, logt) における接線の方 y+logt = - ----(x-1) --- Ⓡ t ① に x = 0 を代入すると x y=1-logt y=0を代入すると x=t-tlogt よって Q(t-tlogt, 0), R(0, 1-logt) 0<t<1のとき, t-tlogt> 0, 1-logt > 0 であるから △OQRの面積をS(t) とおくと s(t) = 1/1/20 1/1OQ.OR=1/12 (t-tloge)(1-log!) -t(1-logt)² S'(t)=1/12/{(1-logt) +t.2(1-logt). (-1)} an t = = 2 S'(t)=0 とおくと 0<t < 1 の範囲で 1 ･(logt-1) (logt+1) e S(t) の増減表は右の ように したがって t S' (t) S(t) e 0 t = のとき 最大値 : + e e 0 2 e : 1 [頻出] 291 ** \43 R y=-logx 4+1 \P(t, –logt) S(t) 1 Q y=f(x) 上の点 (t, f(t)) における接線の 方程式は y-f(t)=f'(t) (x-t) \43 Ry=-logx OP(ty-logt) S(t) OQ (2) = 2/(1-10g-1) ² log. |-|-= {1-(-1)}² e 191 曲線 y = e-2x 上の点A(a, e-2a) での接線とx軸、y軸との交点をそれぞ れB, C とおく。 ただし, a≧0 とする。 (1) 原点を0とするとき △OBCの面積S(α) を求めよ。 (2) S(α)の最大値およびそのときのaの値を求めよ。 (南山大) p.371 問題191 5章 16いろいろな微分の応用 353

①②の連立で、両辺正を証明せずに2乗ができた理由を教えてください。 右辺は必ず正になるのでしょうか。

例題 85 曲線 y=√2x-3 思考プロセス 共有点の個数 図で考える 1/11 無理関数のグラフと直線の共有点の個数 →2x-3=ax-1 の実数解の個数と一致するが, 両辺を2乗すると無縁解が現れ、考えにくい。 ② : y = ax-1 はどのような直線か? 0= →点(0,-1)を通り,傾きαの直線 共有点の個数が変化する境目となるαの値を求める。 Action》 無理関数のグラフと直線の共有点の個数は, グラフの特徴から考えよ - RE 3 解 ① を変形すると y = √2x-3= √2(x-2). また, y = ax-1 は定点(0,-1)を通り,傾きαの直線 を表す。 (ア) 直線 ② が点 (1,0)を通るとき 34 22 ･①と直線y=ax-1... ② の共有点の個数を調べよ。 ... 2 3 (イ)直線②が曲線 ① と接する とき ① ② を連立すると √2x-3=ax-1 両辺を2乗して, 整理すると a2x2-2(a+1)x+4=0 ・③ グラフより明らかに a>0 であるから, 2次方程式 ③ の 判別式をDとするとD=0 e Gra C347AM D の友 3 2-1 より a= a ≦a <1のとき 10<a< 3 la ≦ 0, 1 <a のとき 2 9 心 = (a + 1)² - 4a² = − (3a+1)(a − 1) (3a+1)(a-1)= 0 a = 1 よって a>0 であるから 81305 ア), (イ) と ①,②のグラフより、共有点の個数は y=√2x-3 O 3/1 ま 曲線 y=√4-2① 53-2 y=ax-1/(イ) a=1のとき 1個 ya y = ax-] 0 個 CÂU ÂU CÓ LỖI MÀ RA, CO し館 G x ②の値が()のときより小 さく,0より大きければ, 共有点は1個である。 218 37 15% (10.5 ① 友時代 la の値が (イ) のときより大 きければ, 共有点はない。 6 ² 0 であるから、③は 必ず2次方程式であるこ とに注意する。画 a= のときは次の 3 方式 図のような状態である。 ① ya =1+2 O NAJTIMI I