sin2が150°となぜわかる?、

177 115 2次の三角方程式 不等式 充例題 0°S0S180° のとき, 次の方程式·不等式を解け。 (1) 2cos°0+5sin0=4 基本 (2) 2sin°0+3cos0<0 基本 109,114 CHARTO SOLUTION 三角比で表された2次の方程式·不等式 1つの三角比で表す かくれた条件 sin°0+cos°0=1 を利用して, 1つの三角比だけで表す。 (1) sin0=t とおくとtについての2次方程式 (2) cosθ=t とおくとtについての2次不等式 1以上 に帰着できる。その際,tの変域に注意する。 0°S0<180° のとき, 0<sin0<1, -1<cos 0 <1 である。 解答 (1) sin'0+cos°0=1 より, cos°0=1-sin°0 であるから 2(1-sin'0)+5sin0=4 整理して 2sin°0-5sin0+2=0 は, pn sin0=t とおくと, 0°<0%180°から 0冬tハニ… 注) Singの値のとき、2つ出てこる!! 一 遊すか適さないが見行仕る 4章 2 全0°S0S180°のとき 13 直線 このとき,与えられた方程式は 2t°-5t+2=0 0Ssin0S1 側にあ 080 (2t-1)(t-2)30 ラ, 2 101050S18. のを満たすのはt= これを解くと t= ま 日が -さい Os 0-5-0のど4 150°1 すなわち sin0=- 2 2 Q 2 P よって,求める解は (2) sin'0+cos°0=1 より, sin'0=1-cos'0 であるから 1022(1-cos°0)+3cos0<0 整理して 2cos0-3cos0-2>0 cos0=t とおくと, 0°<0ハ180° から このとき,与えられた不等式は 2t2-3t-2>0 0=30°, 150° 0 1x 以上 E範 -1StS1 … 2 全0°<0S180°のとき ※対 る Sint -1Scos0<1 の販売 全(2t+1)(t-2)>0 これを解くと tくー方, 2<tat=0 る 2 11 のとの共通範囲を求めると S-小量ケ 8136 1 -1Scos0<ー- 2 P -1Stく- 1 すなわち 120° -1 00 1x よって,求める解は 120°<0<180° 1 |2 PRACTICE…115® 0°<0s180° のとき, 次の方程式· 不等式を解け。 (2) (2 cos'0+sin0-/2=0 W tan'0+(1-/3)tan0-/3 <0 (1) 2sin'0-cos0-1=0 2sin'0-3cos@<0 |三角比の拡張

波線引いてるところ 0.90,180はなぜ含まれない?

172 のとき, cos0と tan0の値を求めよ 「p.168 基本事項4,基太 基本例題 基本例題110 三角比相互の値 (0°%0S180) (1) 直線 1 0°S0S180° とする。 sin0= 1 ソミ V3 CHART O また,2 OLUTION 0°<B< 三角比の相互関係 sin0 1 ③ 1+tan'0=- cos'0 … ② sin'0+cos°0=1 2直線 これらの相互関係は鋭角の場合と同じ。 よって, 解答の方針は基本例題10s (p.163)と同じ。 sinθが与えられたときは, 公式を② ①の順に用いる。 ① tan0= Cos0 CHART 直線の 直線: を満たす0は2つあり, ただし, 0°<0ハ180° のとき sin0=- 3 0が鈍角のとき cos 0<0, tan 0<0 であることに注意。 Q- 解答 O ト ファ =; から, 0°<0<90° または 90°<0<180° である。 sin'0+cos'0=1 から 3 解答 12 cos°0=1-sin?0=1-| 8 -1 0 1x(1) tan α 3 [1] 0°<0<90°のとき, cos@>0であるから -0が鋭角のとき sin0>0, cos0> HCtan 0>0 tan 8 8 COs 0=, 9 2/2 3 ゆえに, | また sin0 1 2/2 1_/2 c3--2 tan 0= Cos 0 2/2 132。 4 よって, (2) 2直線 [2] 90°<0<180° のとき, cosθ<0であるから 合日が鈍角のとき 8 COs0=- 9 2/2 3 sin0>0, cosé<! y>0 の tan 0<0 なす角を 1-2/2 3 3 また tan 0= sin0 1 1 V2 0°<aく tuno 4 COs 0 [1], [2] から 2/2 te よって (cos 0, tan 0)=( 2 2/2 図から, 3 4 3 a PRACTICE…110® 0°S0<180° とする。 sin@, cos@, tan0 のうち1つが次の値をとるとき,各場合 いて残りの2つの三角比の値を求めよ。 e」 PRACTIL 次の2 2 (1) cos0=l. 3 sin0=2 4 Itan0 =ー 3

答えの中のkはなぜ自然数じゃないと駄目？ 負の数は駄目?小数は駄目なの？

ことを用い。 75 43 V3 が無理数であることの証明 OOO0 しであること 基本例題 「っは整数とする。 nが3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真で 項7 ある。これを利用して,V3 が無理数であることを証明せよ。 基本 42 CHARTOSOLUTION ふ 10 直接がだめなら間接で 背理法 証明の問題 が無理数でない(有理数である)と仮定する。このとき, 『3=r(rは有理 と仮定して矛盾を導こうとすると, 「V3=r の両辺を2乗して, 3=r」とな が有効。 2章 nここで先に進めなくなってしまう。 そこで, 自然数a, bを用いて 『3= 6 (既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。 解答 み盾を導く。 V3が無理数でないと仮定する。 このとき(3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数 否定すると 一既約分数:できる限り 約分して, aとbに1以 をもたない2つの自然数 a, bを用いて, V3%=D と表される。 a=V36 a=36° 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数a, bの最 大公約数が1であるとき, aとbは互いに素である という(数学A参照)。 *下線部分の命題が真で あることの証明には対 ゆえに 里数の和両辺を2乗すると に有理よって, α'は3の倍数である。 差 が3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, んを自然数と して a=3k と表される。 は限らない これをOに代入すると 偶を利用する。 種数ならば分数で決る すなわち 6°=3k? 9°=36° よって, °は3の倍数であるから, bも3の倍数である。 ゆえに,aとbは公約数3をもつ。 ]これは,aともが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって,/3 は無理数である。 30 =3 1.5- 3 ) 2 例題で真であるとした命題「n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である」の逆も真で ある。また,命題「n°が偶数(奇数)ならば, nは偶数(奇数)である」および, この逆 も真である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので,覚えておこう。 INFORMATION 雨題「nは整数とする。 n°が7の倍数ならば, nは7の倍数である」は真である。こ れを利用して,/7が無理数であることを証明せよ。 PRACTICE…43° 43

(2)で、なぜ鈍角三角形と断定できるのですか？

/2=/6./2sinB 00mia (2) S=→casinB から ヘロンの 2 0:2 p.197) 2 2s=11- ゆえに sin B= V6 △ABC は鈍角三角形ではないから s=1: よって S= 0°<B<90° よって, cos B20 であるから 2 cos B=、T-sin'B=,1-()-。 2 1 えに 日、/1 V3

practice 126の解き方が分かりません。 詳しい説明をお願いします。

x体 =B200 (N801 爽中 央中 志 PRACTICE … 126® 央中の aを定数とする。方程式 4cos?x-2cosx-1=a の解の個数を 一πくxSπの範囲 で求めよ。 [類大分大]

(2)星マークの所がいまいち分かりません！！！ どうして、①②みたいな範囲ができて、それを満たす、最小の自然数が出来るんですか？？

So0 基本例題 1OC 360n が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 -がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 V n n° 81 40 p.388 基本事項。 CHART SOLUTION 素因数分解からスタート nの式が自然数となる条件 (1) V(n の式)が自然数 → (nの式)が平方数(ある自然数の2乗) →素因数分解したとき, 各指数がすべて偶数。 (2) 分数の値が自然数 → 分子が分母の倍数 n°が 40=2°-5 の倍数, n° が 81=3* の倍数であるから, nは2, 3, 5を熱 数としてもつ。 解答 (1) V360n が自然数になるには, 360nがある自然数 2) 360 (1),2°-3-5を変形すると の2乗になればよい。 360 を素因数分解すると 360=2°-3°-5 360 に2-5を掛けると 泉2)180 2) 90 | 3) 45 3) 15 2-33-2-5 よって,(自然数の形 最小の自然数にするた には,2-5を掛けれ い。 2:3°-5°=(2?-3-5)? 5 よって, 求める自然数nは (2) 40=2°-5, 81=3* であるから,求める自然数nは2, 3, 5 合べは2°5の倍数、 を素因数にもつ。 最小のnを求めるから, a, b, cを自然数として n=2·5=10 3の倍数。 wni とおいてよい。 224.326.52c n=2".36. I×T-10 n° が自然数となるための条件は (2:3-59)? =24-32-5 卒 40 2°.5 2a23, 2c21 の n°_234.336.53c (8S) リ--約分して分母が1 81 が自然数となるための条件は 34 る。 のや 3624 2 0, ② を満たす最小の自然数 a, b, cは の 8-5S CE 62 a=2, b=2, c=1 よって, 求める自然数nは a n=2°-3°.5!=180 +0 PRACTICE.

この問題で、 y＝２Xに垂直な直線の傾きは−2分の1 という考え方はなぜ使わないのでしょうか😢

の本S (r S-) 交 0=I+ビース8 ,0%3Db-十ェ PRACTICE … 79®輪y: の 0-84gSス笑候の模にか 直線2:y=2x に関して点P(3, 1) と対称な点Q の座標を求めよ。

(1)の解説の方です。 最後に、よっての後で2が登場したんですけどどこから来たんですか？？あと、どういうことですか？、

基本例題/7 実数解をもつ条件 (2) 8OOOO0 1) )xの2次方程式(m-2)x?-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう た,定数 m の値の範囲を定めよ。 12))xの方程式(m+1)x°+2(m-1)x+2m-5=0 がただ1つの実数解を もつとき,定数m の値を求めよ。 基本76 基本 87 CHARTO SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 (2次の係数)キ0 ならば 判別式Dの利用 (1)「2次」方程式が実数解をもつ条件は D20 (2) 単に「方程式」 とあるから, m+1=0 (1 次方程式)の場合と m+1キ0(2次方程式)の場合に分ける。 の章文 3 (解答 (1) 2次方程式であるから 2次方程式の判別式をDとすると m-2キ0 よって mキ2 ={-(m+1)}?_(m-2)(m+3)=m+7 -26'型であるから, 4 2次方程式が実数解をもつための条件は D20 であるから D -=62-ac を利用する。 4 m+720 ゆえに よって -7Sm<2, 2<m -4x-7=0 m2-7 mキ2 かつ m2-7 1(2) m+1=0 すなわち m=-1 のとき -7 2 m よって,ただ1つの実数解 x=- をもつ。 1 mキー1 のとき 方程式は2次方程式で, 判別式をDとすると 時面 D ゲ=(m-1)?-(m+1)(2m-5)=-m+m+6 2次方程式がただ1つの実数解をもつための条件は D=0 であるから *2次方程式が重解をも つ場合である。 ーm?+m+6=0 (m+2)(m-3)=0 0 m=-2, 3 1) 場合 こ ゆえに これを解いて これらは mキー1 を満たす。 以上から,ただ1つの実数解をもつとき m=-2, -1, 3 PRACTICE…77° あ士01%3D0 有効である。 3 \s

解答のところで線分AA’の中点が直線l上にあるからのところでなんでイコール5になるのか教えてください

129 83 折れ線の長さの最小 重要例題 A(2,5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり, AP+PBを 最小にする点Pの座標を求めよ。 OOO0O 【日本獣畜大) 基本79 CHART O5OLUTION 折れ線の問題には 線対称移動 直線 :x+y=5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。 そこで,直線lに関してAと対称な点 A'をとると OrnTOR AH こある AP+PB=A'P+PB2A'B 等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるときである。… ゆえに、直線 lと直線 A'Bの交点が求める点Pである。 3章 字を含ま 解答 2点A, Bは直線!に関して同じ側にある。 直線!:x+y=5 …. 使用する。 1点です EELO *直線!に関して点Pと 点Qが対称→ [1] PQL H [2] 線分 PQ の中点が 直線上にある 11 () に 関してAと対称な点を A'(a, b) 0.2 直 線 A o 上にもも とする。 直線上 AA'1l から b-5 P。 すには、 *直線 AA'はx軸に垂直 B 2一3.(-1)=-1 x 上にも を示 5 9 ではないから aキ2 0 2 a-2 垂直→傾きの積が -1 a-b=-3 2② e よって 線分 AA'の中点が直線!上にあ 2+a 小泉 は直 にある 5+6 2 -=5 をー るから 2 |たそのときの 線分 AA'の垂直二等分 3 よって a+b=3 ゆえに A(0, 3) 2, ③ を解いて このとき a=0, b=3 『よって, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最 線上の点は、2点A, A' から等距離にある。 AP+PB=AP+PB>A'B よって AP=A'P *2点A', B間の最短経 路は、2点を結ぶ線分 小になる”。 x y +=1 すなわち x+3y=9 …④ 最大と 直線A'Bの方程式は 9 3 直線 A'Bと直線lの交点を Po とすると, その座標は Po(3, 2) A'Bである。 小景の頭ボ ゆえに 0, ④ を解いて x=3, y=2 (3, 2) したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は 点からの 直線 2:y=x+1 と2点A(1, 4), B(5, 6) がある。直線!上の点Pで, AP+PE 【類富山大 PRACTICE …83° uCE 8寸。 を最小にする点Pの座標を求めよ。 る、 こを導く。 を示す

マーカーしたところの解の個数が表記されてるようになる理由がわかりません。教えてください

重要例題|26 三角方程式の解の個数 19% aは定数とする。0<0<2π のとき,方程式 sin'0-sin0=a について (1) この方程式が解をもつためのaのとりうる値の範囲を求めよ。 (2) この方程式の解の個数をaの値によって場合分けして求めよ。 基本 125 CHART O S lOLUTION 方程式 f(0)=a の解 2つのグラフ y=f(0), y=a の共有点 sin0=k (0S0<2π) の解の個数 k=±1 で場合分け 0の個数は k=±1 のとき 1個,-1<k<1 のとき 2個 k<-1, 1<k のとき 0個 解答 sin°0-sin0=a sin0=t とおくと ただし, 0<0<2π から したがって,方程式のが解をもつための条件は,方程式2② が③の範囲の解をもつことである。 方程式2の実数解は, 2つの関数 ピーt=a -1StS1 *0S0<2π のとき 4章 -1Ssin0S1 Sate 00 a ソ=ーt/ 16 小 |2 ソーPーt-(- ソ=a 4 0 0 y=a のグラフの共有点のt座標であるから, 2 0 1 図から as2 801 (2)(1)の2つの関数のグラフの共有点の t座標に注目すると, 方程式Oの解の個数は, 次のように場合分けされる。 [1] a=2 のとき, t=-1 から [2] 0<a<2 のとき, -1<t<0 から [3] a=0 のとき, t=0, 1 から 1個 * sin0=t を満たす0の 2個 値の個数は,tの値1個 に対して 3個 t=±1 のとき 1個 -1<t<1 のとき 2個 [4] -一<a<0 のとき, 0<t<1 に交点が2個存在し, そ 00円 4個 れぞれ2個ずつの解をもつから 2個 [5] a=-- のとき, t=; から 2 0個 16] a<--,2<aのとき 4 PRACTICE… 126 7 aを定数とする。方程式 4cos'x-2cosx-1=a の解の個数を -元く<xSx の範囲 【類大分大] 三角関数のグラフと応用