55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

数学Aの問題です。 115の(1),(2)の問題がわかりません。 今までの見たことない問題でやり方がわからないです。 どうしたら解答に載ってるやり方になるか教えてほしいです。 もっと簡単なやり方があれば教えていただけるとありがたいです。

7個 △ 115* 袋 a には赤球3個と白球4個が入っており,袋bには赤球2個と白球5個が入っ ている。 袋a から1個の球を取り出して袋bに入れ,次に袋b から1個の球を取り出し て袋aに入れるとき、次の確率を求めよ。 (1) 袋a の赤球の個数が増加する確率 817+1個) (2) 袋a と袋bの赤球と白球の個数が変わらない確率 クイ 116* 赤球 2個と白球3個が入っている袋から, a,b,c の3人がこの順に1個ずつ球を 取り出すとき、次の確率を求めよ。 ただし, a, bが取り出した球はもとに戻さないもの とする。 A 112 (1) bが赤球を取り出す確率 (2) cが赤球を取り出す確率

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

画像の問題について なぜ赤線部にあるようにEとFはそれぞれ辺OB’と辺OC’の中点になっていると分かるのでしょうか？

23. 三角形の外心と辺に関する対称点が作る三角形の証明問題 [サクシード数学A 問題353] |鋭角三角形 ABCの外心をOとし, 3辺BC, CA, AB に関して 0 と対称な点をそれぞ れ A', B', '′ とするとき,次のことを証明せよ。 (1) △ABC≡△A'B'C' (2) Oは△AB'C' の垂心 解答 (1) 略 (2) (解説) (1)3辺BC, CA, ABの中点を, それぞれD,E,F とする。 △ABCにおいて, 中点連結定理により 2EF=BC また, △OB'C' において, E, F はそれぞれ辺 OB', OC' の中点であるから 2EF=B'C' BC=B'C' ① ② から 同様にして, CA=C'A', AB = A 'B' が示される。 したがって △ABC≡△A'B'C' (2) 中点連結定理により BC //EF, B'C'//EF よって BC//B'C' 0 と A' は BCに関して対称であるから OA'LBC よって, ③ から OA'LB'C' 同様にして, OB'C'A', OC'′ ⊥A 'B' が示される。 したがって, 0 は A'B'C' の垂心である。 B I A' E C B'

bの範囲がなぜそうなるのかわかりません。教えてください。

[2] U={x|x は 18以下の自然数}を全体集合とし, ひの部分集合 A,Bを次のよ うに定める. a=2 A={4,5,7,8,11, a, 15}, B={x|x∈U, b≦x≦c}. ただし, αは 11<a<15 を満たす整数, b,c は 1≦bc≧18 を満たす整数 とする. (1) α=12,6=5,c=10 のとき, 集合AN B, および集合ANB をそれぞれ 要素を書き並べて表せ. (2) α=12 のとき, BCA となるような集合Bのうち, 要素の和が最小となる ような集合 B, 要素の和が最大となるような集合B をそれぞれ要素を書き並べ て表せ. 1106 (3) Uの部分集合Cを次のように定める. C={x|x∈U,xは18の約数}. 集合 (And) B の要素が偶数のみとなるような集合 (A∩C) B のうち, 要素の個数が最大となる a,b,cの中で, a +6 + c の値が最大となる組 (a,b,c) を求めよ. - 3- -

②をもう少し噛み砕いた説明をお願いします、

46 ① n個からr個取ることは, n個からn-r個残すことと同じであるから nCr=nCn-r <Cの性質> |証明 の2枚のカードから枚取る組合せを, 次の2つに分ける。 (A) 1が入っている組合せ ① を除いたn-1 枚の ②,③から1枚を選び, それにを入れて おく。 その方法の数は -1 Cr-1 (B) Ⅰ が入っていない組合せ を除いた②,③3 nCr は (A)+(B) であるから ① YUR 1 Cr から枚を選ぶ。その方法の数は nCr=n-1Cr-1+n-1 Cr

この問題がさっぱり分かりません。分かりやすく説明してくれると助かります。答えはところどころ省いているので2枚目に正答を載せておきます。よろしくお願いします！！

例題4 全体集合Uと, その部分集合 A, wn(U)=50, n(A) =36, n(B) = 275/Taka dia である。このとき,"(A∩B)のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 まぁ 22-03 解答 n (A) >n(B) であるから, n (A∩B) が最大値をとるのはA⊃Bのときである。 このとき, ANB=B であり n(An B) = n(B) = 27 n(A)+n(B)>n(U) であるから, n (A∩B) が最小値をとるのは AUBU のときである。 n(AUB) = n(A) + n(B) − n(ANB) め よって XA 52 n (An B) n(An B) = n(A) + n(B) - n(AUB) = 36+27-50=13 最大値 27, 最小値 13 圏 - U こ n (A) + n(B) *n (v) 30425-60 ADB (1) + n(ANB) PASWAT 21 全体集合Uと, その部分集合 A, B について, n(U)=60, n(A)=30, n(B)=25である。 このとき,次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 AA音楽 4 例題 n (An B) E = (87A)R SA= (SUA) .02=(0)* As Bart (ank)µ¢ EAN B = B n (ANB) = n(B) = 25 (In) (S) n (AUB) n(A)n(B) <n (U) 2534) 最大値→ANB=0のとき n(AUB) = n(A) + n(B) =30+25) 1 = 55 n (A)-n (ANB) AnB = Ø - 30-n (AMB) x Fo2 n (ANB) IF n (AMB) =0 n (AMB) = 25 B このとき最小値 AUB=U n (AMB) = 0 ADB 25. 1.180 x 30 最小値をとる。 25.0 ANE Ang 最大55 ANE SENS A O 30 25 h(A) > n(B) [3) n(AUB) Free n (AUB) = n(A)=30 最少値を のとき 最大値 30 最小値 5 最小 30 £3 917 ADB をとる。

1番から、なぜこの式になるのか教えてください🙏

ろを2 付き ₁ 40 難易度 ★★★ 右の図のように、表が白, 裏が赤のカードがいずれも白の 面を上にして, 6枚だけ横一列に並べられている。 大小2個のさいころを同時に投げ, 出た目の数をそれぞれ a, bとする。 目標解答時間 15分 00 キ♭のときは,左から4枚目と左から6枚目の2枚のカードを裏返す。 a=bのときは,左から4枚目の1枚のカードを裏返す。 この操作を2回繰り返した結果, 赤の面が上になっているカードの枚数をXとする。 (1) 1回目に出た目が1と2,2回目に出た目が3と4になる確率は X=[] である。 また、1回目に出た目が1と2, 2回目に出た目が2と2になる確率は X=[コ である。 [イウェ] であり、このとき、 カ キクケ であり,このとき, サ (2) X =4 となる確率は t であり, X=3となる確率は である。 シス ンタ (3)X=1のとき、左から1枚目と2枚目のカードは一度も裏返されることがなかった条件付き確 チ は (配点 1' である。 ツ <公式・解法集 40

別解ニのやり方がわかりません 教えてほしいです！

44 基本例題 25 方程式の表す図形 次の方程式を満たす点z 全体は,どのような図形か。 |z-2i|=2|z+il 31=20 CHARTO SOLUTION 複素数の絶対値 |z|は|zとして扱う n|z-a|=m|z-β (mon) の形の方程式は,両辺を2乗して, |z-|=△の 形啼く。 ・・・・・・!! 点の全体は中心が点 半径が▲の円。 その式変形の際は, 共役な複素数の性質 zz= |z|2, a+β=a+B,α-β=α-B を使う。 整理して よって mm×30 30枚 ノ-3CATA 別解 1 z=x+yi(x, y は実数) とすることによって, z-2i=22|z +i から x,yの方程式を導く。 別解2 等式の図形的な意味を考える。 すなわち,次のことを利用する。 「解答」 |z-2i| =2|z+i の両辺を2乗して |z-2i=22|z+i よって (z2i) (z-2i)=4(z+i)(z+i) ゆえに (z−2i)(2+2i)=4(z+i)(z−i) 両辺を展開すると m>0,n>0,m≠n とする。 2点A, B からの距離の比がmin (一定)である点Pの軌跡は,線分 AB を minに内分する点と, 外分 する点を直径の両端とする円 (アポ ロニウスの円) である (p.40 基本事項 2 解説 参照)。 zz+2iz-2iz+4=4zz4iz+4iz+4 zz-2iz+2iz=0 (z+2i)(z-2i)-4=0 AP:BP=m:n A -m. -n- p.40 基本事項 ② B m- ·lal² =αa n ■z-2i=z-2i=z+2i zti=zti=z-i ◆3zz-6iz+6iz=0 ←zz+αz+βz

(2)でなぜMを(x,y)とおいていいんですか？

基礎問 74 第3章 図形と式 46 軌跡 (IV) 放物線y=x2-2x+1と直線y=mx について,次の問いに 答えよ. (1) 上の放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるためのmの範 囲を求めよ. +yuia=v. m が(1)で求めた範囲を動くとき, 点Mの軌跡を求めよ. 14041143 (2) 線分PQの中点の座標を m で表せ. (3) +³(1+x) = (1) 放物線と直線の位置関係は,連立させてyを消去した2次方程 式の判別式を考えます. $2y²102121— 異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0ではありません. (2)(1)の2次方程式の2解がPとQのx座標ですが,mを含んだ式になるの で2解をα, βとおいて, 解と係数の関係を利用した方が計算がラクです . (3) (1)において, m に範囲がついている点に注意します. ( 45 講III) TRT y=x²–2x+1·····D, y=mx (1) ①,②より,yを消去して, ③は異なる2つの実数解をもつので 判別式をDとすると, D>0 D=(m+2)2-4 であるから m² +4m>0 :. m(m+4)>0 解答 x= .m<-4, 0<m (2) ③の2解をα, β とすれば, P(α, ma), Q(B,mβ) とおける変 このとき, M(x,y) とすれば, a+B_m(a+B) y= 2' 2 ここで, 解と係数の関係より a+β=m+2 だから (10 (8) A 2 yuia) (m+2x+1=0...... 157- -=mx (OST YA I-O miey=mx y=x²-2x+1 P a M 1 B IC (3) a 5 ④に す 以 注 F