基本例題107 アポロニウスの円
80 000
2点A(-4,0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
p. 1661, 2
指針 定点A(-4, 0), B(20)
PO
条件を満たす任意の点をP(x,y) とすると、条件は
AP: BP=2:1
このままでは扱いにくいから, a>0,6>0のとき、a=b⇔a=b2 の関係を用いて
AP:BP=2:1⇔AP=2BP⇔ AP'=4BP
として扱う。 これを x,yの式で表すと, 軌跡が得られる。
TOP
軌跡である図形 F が求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確認
する｡
CHART 軌跡軌跡上の動点 (x,y) の関係式を導く
解答
条件を満たす点をP(x, y) とすると
AP:BP=2:1
ゆえに
すなわち
したがって
AP=2BP
AP2=4BP2
(x+4)2+y2=4{(x-2)^+y2}
整理して x2+y2-8x=0
すなわち
(x-4)2+y2=42
よって, 条件を満たす点は, 円 ①上にある。
逆に,円 ① 上の任意の点は,条件を満たす。
したがって 求める軌跡は
YA
-4 O
en anil
B
2
P(x,y)
18x
OUTSIAHO
& FATHLON
<AP > 0, BP >0であるから
平方しても同値。
#9
xの式で表す。
x²-8x+42+y2=42
+
=(1-x)+(8形は,同値変形。
中心が点 (40), 半径が40円
ASSHOSTA ka
注意 「軌跡の方程式を求めよ」なら、答えは①のままでよいが, 円(x-4)2+y=42 を答え
「軌跡を求めよ」なので、Aのように, 答えに図形の形を
としてもよい。
示す。
= ²x+√³= [[$ 0=8−x+x
①の式を導くまでの式変
