なぜ4点ABCDから出来る平行四辺形はこの3つだけなんですか？？円順列的に考えて3つの並び替えで3!で6通り存在しないのは何故ですか？？

Think 例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点 形式 (365) C2-1 **** 複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形 ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ. 考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから 複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である. 四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC 解答 である. よって、 z-(1-2i)=iz-ス つまり、 z=(i-1)z+(1-2i) ①の両辺の共役複素数をとると, _z= (-i-1)z+(1+2i) ここに①を代入すると, ① www D(z) C(iz) O B(z) (8O+AO)SAA(1-2i) z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i) したがって, 0% z=2z-2+3i z=2-3i 0 th 1=2+b)+(nds) ① OAO)+(内 (別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC と BD の中点は一致するから、 A (1-2)+iz 2 た z+z32. OA 2点α, βを結ぶ線分 (S)(1) A01:1 したがって, ad よって, (1-iz+z=1-2i の中点は, a+β (1-2i)+iz=z+z 2 (p.C2-52 参照) ①の両辺の共役複素数をとると, (1+i)z+z=1+2i.......② ① ×(1+i) ② より を消去すると, z=2-3i Focus 四角形ABCD が平行四辺形A0 .00 x+Q+D AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致 z= a + bi (a,b は実数) とおくと, z=a-bi これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三 "はABC AD 習 例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち, 2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.

写真の問題についてです 2枚目が解説なのですが、黄色で囲っている所がよく分かりません💦 どなたかお願いします

PRACTICE 91° すべての実数xについて,不等式 (a-1)x2-2(a-1)x+3≧0 が成り立つように,定 数αの値の範囲を定めよ。

基本例題40では、同じ1でも1a1b1cのように区別しているので、基本例題41(2)でも(1、1、1)をそれぞれ区別し、3！というふうにするのかと思いましたが、間違っていました。何がいけないのでしょうか。確率では同じようなものも区別しろというふうに習ったのに😭

322 基本 例題 40 一般の和事象の確率 00000 1から9までの番号札が各数字3枚ずつ計27枚ある。 札をよくかき混ぜて から2枚取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 2枚が同じ数字である確率 (2)2枚が同じ数字であるか, 2枚の数字の和が5以下である確率 CHART & SOLUTION 313 基本事項 基本 (1)1 電 (2) a X CHAL 一般の和事象の確率 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) (2) 2枚が同じ数字であるという事象をA, 2枚の数字の和が5以下であるという事象を Bとすると, AとBは互いに排反ではない。 事象 A∩B が起こるのは, 2数の組が (1,1) (22)のときである。 ( 解答 27枚の札の中から2枚の札を取り出す方法は 27C2=351 (通り) (1)2枚の札が同じ数字であるという事象をAとする。 取り出した2枚が同じ数字であるのは,同じ数字の3枚か ら2枚を取り出すときであるから,その場合の数は 「少な (1) 「 (2) 「X 「X 一答 (1) 15 A: 象 ←n(U) よっ 9×3C2=27 (通り) ◆同じ数字となる数字は (2) A よって、求める確率 P(A) は 1 P(A)= 27 1 1~9の9通り。 [1] = 351 13 (2)2枚の札の数字の和が5以下であるという事象をBとする。 2枚の数字の和が5以下である数の組は、次の6通りである。 {1, 1}, {1, 2},{1,3}, {1, 4},{2,2}, {2,3} ゆえに、その場合の数は 2 ×3C2+4×3C ×3C =42(通り) また、2枚が同じ数字で,かつ2枚の数字の和が5以下で あるような数の組は {1, 1}, {2, 2} だけであるから n(A∩B)=2×3C2=6(通り) ← {1,1,2,2)がそれぞ [2] 2 目の 3C2通り。残り4つの 場合がそれぞれ よっ ! CXC通り。 よって、求める確率 P(AUB) は P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 27 42 6 63 7 = + 351 351 351 351 39 ←P(A∩B)=(A∩B) n(U) 213 PRACTICE 40° 2個のさいころを同時に投げるとき, 出る目の最小値が3となるか,または, の最大値が4となる確率を求めよ。 出る目 PRAC (1) 当 (2) 2 め

practice64のやり方を教えてください🙇‍♂️

PRACTICE 643 α は定数とする。 関数 f(x) =3x²-6ax+5 (0≦x≦)について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

これを因数分解したいのですが、x³の前に係数3がついている時はどのように因数分解したら良かったのでしょうか？？ どなたか分かる方教えてください！🙇‍♀️

P(x)=3x3-8x2+x+7

黄チャートの例題46の（2）の問題で、（1）の結果を利用すると書いているんですけど、なにを利用しているのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 46 有理数と無理数の関係 (1) a, b は有理数とする。 a+b√2=0 のとき, √2 が無理数であることを 用いて, a=b= 0 であることを証明せよ。 (2)(1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数 x, yの値を求めよ。 CHART & HINKING MOITUJO 2 基本44 (1) 直接証明するのは難しいから, 背理法を利用しよう。 結論の否定は 「α≠0 または b≠0」であるが,この仮定からスタートする必要はない。a+b2=0 という式に注目し 最初の仮定を見極めよう。 (2)√2について整理して, (1) の結果を利用する。 このとき, 前提条件 「x,yは有理数√2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。 解答 (1)6=0 と仮定すると √2=-1 b a,bは有理数であるから,右辺のは有理数である。 左辺の√2 は無理数であるから,これは矛盾している。 よって b=0 a+b√2=0に6=0 を代入してa=0 したがって a=b=0 (2) 与式を変形して (x-2y-10)+(x+3y)√2 = 0 x,yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数で あり√2 は無理数である。 理由である a+b√2 0 から b2= 両辺を6(≠0) で割ると 2=-1 a このことから、最初の仮 定は 60 だけでよい。 2について整理。 この断りは重要。 詳しくは右ページ参照。 ゆえに、(1)の結果から これを解いて x-2y-10=0, x+3y=0 x=6,y=-2 POINT 有理数と無理数 a,b,c,d を有理数, √T を無理数とすると ① a+b√7=0 ② a+b√T=c+d√T のとき a=b=0 のとき a=c, b=d MOITAMЯO ここで,「a, b,c,d は有理数」という条件に注意しよう。 この条件がないと, 例えば① では a=b=0以外に a=√T(無理数) b=-1 もa+b√T =0 を満たしてしまう。 PRACTICE 46Ⓡ 3 √3 は無理数である。 7+a√3 2+√3 24 BUITAR 9 -=6+9√3 を満たす有理数 α, b の値を求めよ。

私が解いているのはpracticeなのですが、 基本例題で用いた方法は利用できなくて、、、 どのように答えを求めたら良いですか？？ 分かる方教えてください！🙇‍♀️

基 例題 55 高次式の値(割り算を利用して次数を下げる) P(x)=x+3x2+x+2について,次の問いに答えよ。 (1) x=-1+i のとき, x2+2x+2=0 であることを証明せよ。 2 P(x) を x2+2x+2で割った商と余りを求めよ。 5. (3) P(-1+i) の値を求めよ。 ③ 基本 10 基本 60 CHART & THINKING (1)(2)(3)のヒント (3)でP(-1+i) の値を求めるのに, x= -1 + i を直接代入すると計算が煩雑。 そこで,(1),(2) をヒントとして利用しよう。 (2)で求めた商Q(x) と余り ax +6 を用いると, 割り算の基本公式から P(x)=(x2+2x+2)Q(x)+ax+b となる。ここで, (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか? りをそれ りを考え 割った余 の多項 る。 R を代 解答 うしの (1) x=-1+i から x+1=i 両辺を2乗して これを整理して (x+1)=-1 x2+2x+2=0 2章 8 剰余の定理と因数 x +1 x2+2x+2)x+3x2+ x +2 ◆iを消去。 (3) P(x)の次数を順次下 げていく方法もある。 x2+2x+2=0 から x2=-2x-2 よって P(x)=x.x2+3x²+x+2 =x(-2x-2) +3(-2x-2)+x+2 =-2x2-7x4 別解 x=-1+iのとき x2+2x+2=(-1+i)+2(-1+i)+2 =1-2i+i-2+2i+2 =1-1=0 (2)右の計算から 商 x+1 x+2x2+2x 余り 3x x2-x+2 (3)(2)から x2+2x+2 P(x)=(x2+2x+2)(x+1)-3x 0=-3x これに x=-1+i を代入すると, (1) の結果から P(-1+i)=0-3(-1+i) =3-3i =-2(-2x-2)-7x-4 =-3x ← (1) から x=1+iのと きx2+2x+2=0 INFORMATION 虚数単位を消去するための工夫 入試などでは, (3) だけが単独で出題されることも多い。 そういう場合も遠回りに感じ るかもしれないが, x+1=iと変形して両辺を2乗すると, (1) の形のように虚数単位 がなくなり実数係数の2次方程式となるので,計算がスムーズになる。 RACTICE 55 P(x)=3x3-8x²+x+7 のとき,P(1-√2i) の値を求めよ。

画像で青線を引いた部分の不等式について質問です。 どうして≦になるのですか？ 実数解を求めてるのにこれでは虚数解になってしまわないのか考え方を教えて欲しいです。

問題 (1) a,b,cは実数の定数で,b=a+c とする。このとき、2次方程式 ax+bx+c=0 は虚数解をもたないことを示せ。 0-01-(128) A-2)+1) (2),aは実数の定数とする。 2次方程式x+ (k+a)x+a-k=0がどのようなんの 値に対しても実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。 複素数と方程式 解き方のポイント 判別式をDとする。 (1) D≧0 を示す。 れたりでは式 められる (2) どのようなkの値に対してもD≧0となるようなαの条件を考える。実の話 (1) 解答 (1) 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると, 0-01-608-8)+ *n(i+1) D=b2-4ac 0=1(S-)+(61e+") =(a+c)-4ac 248mF2 sato1を求める。 ①······ 0=0 = a² - 2ac+c² () (a-c)2 ≥0 A 次方程式+hx+c=0分]]] をまとすると、 A B-3a²-3+ よって、 2次方程式 ax2+bx+c=0は虚数解をもたない。 10a8-3(a 虚数解をもたないD≧0 (証明終わり) 49 +A D の値を代入す (客)・ (2)2次方程式 x2+(k+a)x+(a-k)=0の判別式を D1 とすると, D1 = (k+α)-4(a-k2) (3) = k2+2ak+α-4a+ 4k =5k2 +2ak+ (α2-4a) (+) 2次方程式が実数解をもつのは D1 ≧0のときであるから, 5k²+2ak+(a²-4a) ≥ 0 B 0 = (10+1)+of+4 B この不等式が,どのようなkの値に対しても成り立つ条件を求めればよ い。 ape) 実数解をもつ10 ① 0=ヤ++) これは,y=5k2 +2ak + (a-4α) とおくとき,このグラフがん軸と共 有点をもたないか接することである。 C 010 5k+2ak + (a-4a)=0の判別式を D2 とすると, 0 = 4+ds- y = 5k² + 2ak + (a²- y=5k²+2ak+(a²-4a) D2 B AS 4 = a² -5(a² - 4a) ≤0 -4a²+20a≤0 a²-5a ≥ 0 a(a-5) ≥ 0 a≦0,5≦a ...... ・( S-= D2 k D2 <0 =0 4 4 グラフは下に凸だから,D20が条 件となる。

（2）、8C3から1辺も共有しない辺の場合を引いても解けますよね？ 1辺も共有しないのって、各角に対して3個だとおもったので8×3で24じゃないんですか？それを8C3から引いても答え違ったのでどこが間違ってるか教えて欲しいです🙇‍♂️

PRACTICE 24° 正八角形について、 次の数を求めよ。 ESTAR 9 人 (1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 何の (2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数

黄チャートの数Iの例題45で、なんとなく意味は理解できた感じがするんですけど、同じことを自力で書こうとするには無理で、それってまだ自分が完璧には理解できていないとおもうので、背理法のコツとか、背理法をマスターする方法とか、この問題の解説的なものを教えて頂きたいです🙇‍♀️

基本 例題 45 √3 が無理数であることの証明 00000 命題 「n は整数とする。 n2 が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 は真で ある。これを利用して、√3が無理数であることを証明せよ。 基本 44 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法 √3 が無理数でない (有理数である) と仮定する。 このとき,√3=r(rは有理数)と仮 定して矛盾を導こうとすると,「√3=rの両辺を2乗して, 3=2」 となり,ここで先に進 めなくなってしまう。そこで,自然数 a, b を用いて√3 = (既約分数)と表されると仮 定して矛盾を導く。 解答 a √3 が無理数でないと仮定する。 このとき 3 はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約 数をもたない2つの自然数a, b を用いて、3= とされる。 ゆえに 両辺を2乗すると a=√36 a2=362 よって、2は3の倍数である。 050+ α2が3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, kを自然数 として a=3k と表される。 これを①に代入すると 9k2=362 すなわち 62=3k2 よって、62は3の倍数であるから, 6も3の倍数である。 ゆえに αとは公約数3をもつ。 これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す る。 ← 既約分数: できる限り 約分して, αともに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最 大公約数が1であるとき, αとは互いに素である という(数学A参照)。 ←下線部分の命題は問題 文で与えられた真の命 題である。 なお、下線部 分の命題が真であるこ との証明には対偶を利 使用する。 したがって√3 は無理数である。 INFORMATION ■に伝わります。 Eb.d 例題で真であるとした命題 「n2が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 の逆も真で ある。 また, 命題 「n2 が偶数 奇数) ならば, nは偶数 (奇数) である」 および, この逆 も真である。 これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので,覚えておこう。 PRACTICE 45Ⓡ 3 つまず 命題「n は整数とする。 n2 が7の倍数ならば, nは7の倍数である」 は真である。こ れを利用して√7 が無理数であることを証明せよ。 2 C 集