41正四面体の高さ,体積
例題
1辺の長さがaである正四面体ABCD がある。
(1) この正四面体の高さをaの式で表せ。
(2) この正四面体の体積をaの式で表せ。
解答
(1) 正四面体の頂点 Aから底面 △BCD に垂線AHを下ろすと
AABH=AACH=D△ADH
A
BH=CH=DH
よって
ゆえに, 点Hは △BCD の外接円の中心で, 外接円の半
は BH である。
B
よって, △BCD において, 正弦定理により
H
1
BH=
ニ
2 sin 60°
V3
したがって
A
AH=VAB-BH=a-)
2
3
2
V6
a
ニ
3
-a
3
(2) ABCD の面積は
B
a
H
--40
1
V3
a.asin60° =
2
V3
2
よって, 正四面体 ABCD の体積は
1
·△BCD·AH=
3
1 /3
V6
2.
4
V2
3
3
3
12