次の問題の青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

2 2 5' a = cosπ+isin πとする。 5 (1)a,1+α+α + α+α, 1 + α+ a + α+ (α) の値を求めよ。 (2) 2 COS mの値を求めよ。 (1)αド・モアブルの定理を用いる。 1+α+α+α+α4 因数分解 x1=(x-1)(x²+x+x+x+1) を利用。 前問の結果の利用 α との関係 aa = |α| を利用 →1+α+α+α+ (α) をつくる。 Action》 α"-1+α"-2+... +α+1は, α-1の因数分解を利用せよ (2) cos 2 を表すと? 8/2/2=(αの実部) a, a の式で cos” Action》の実部は,1/12 (α+α)を考えよ 思考プロセス 5 (1)=(cos/2/2 2 COS π+isin π = cos2π+isin 2 = 1 ド・モアブルの定理 5 5 これより a5-1 = 0 よって (a-1) (a^+α+α+α+1)= 0 一般に α キ1 であるから 1+a+a+a + α = 0 x-1 =(x-1)(xn-1+xn-2 1 |α| =1 すなわち αα = a +... +1) 2 ||a|= = COS +isin 5 25 5 T =1 1より, α = であるから 1+a+a² + a + ( a )² = 1 + a + a² + 2 1 a + 1 a² 1+α+α°+α+α4 = = 0 2 a² である (2) x = 0}{ x < è, com | x = = (a + 0) (3 3 cos- 2 とおくと, 5 から a + α = 2x ... ① 2 また a² + ( a )² = (a + a )² - 2a α = 4x²-2 (1) より, 1+(a + α)+{a°+(α)2}= 0 であるから, ①,② を代入すると 2 1+a+a+a³ + a² = 0 を代入する。 -1±√5 a a = a² =1 x= 0 1+√5 TT = 4 4x2+2x-1= 0 cos x = COS > 0 であるから 2 25 0<cos 4 π < 2 607 より 1

次の様な問題が来ると問題を解く方針が全く立たなくなるのですがコツなどはあるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

2π 2π 練習 60 a = Cos + isin (nは2以上の整数) とするとき, n n (1-2) (1-α) (1-α)... (1-α-1)=n であることを示せ。 2π n 2π a = cos +isin の両辺をn乗すると n n 2 2 an = COS π+isin π r = cos2x+isin2π = 1 n n よって α-1=0 ドモアプルの定理を用 いる。 ここで, 方程式 2"-1=0···① を考えると, α キ1より, α は方程 n≧2 であるから 式 ① を満たす1以外の複素数の1つである。 α キ1 このとき (2)"-1= (a")-1=1-1=0 (ω°)"-1= (a")3-1=1-1=0 (an-1)"-1= (a")"-1-1=1"-1-1=0 d',', よって, z=d, 3, ..., α-1 はいずれも方程式 ① を満たす。 ① を変形すると (z-1)(zn-1 +2 -2 +... +2+z+ 1) = 0 ここで方程式 ① はn次方程式であるからn個の複素数解をもつ。 1, α, 2,..., α7-1 はすべて異なるから, 方程式 ① の解は z=1,a,a2, Qn-1 ..., よって, 方程式 2-1+2-2+・+2 +z + 1 = 0 の解は z= α,a2, .・・, α7-1 であるから 2"-1+2"-2+･･･ + 2°+z +1=(z-a)(za)...(z-an-1) この両辺に z=1 を代入することにより この式はzについての恒 等式である。 (1-4) (1-α) (1-α°)... (1-α-1) =1"-1 +1"-2 +･･･+1+1+1 = =n

次の問題の青線のところで何故nを3kと考えるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

(1) 複素数zz+ 1 2 1 = √3 を満たすとき,230 + の値を求めよ。 30 2° = {cs(土)+isin(1/2)}+{cos(土/1/1) +isin (土/03)} 3 = cos(± 2) + isin(± 2x) + cos(+ 2 =) + sin(2x) 2n 3 1 (2) 複素数zz+ Z 1 = -1 を満たすとき, w=z"+ の値を求め z" 2n 2n = COS -π±isin よ。 ただし, n は整数とする。 (1) 230 + (1)21-2+1)- 130 = z+ と考えるのは大変。 《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ 具体的に考える 例題55) 2+1/2=15より2-32+1=0 ⇒ 極形式 2= 3 2n 3 = 2 cos π (複号同順) (ア) n=3k (kは整数) のとき w=2cos(2kz) =2 (イ) n=3k+1 (kは整数) のとき w=2cos2kz+ 31/37) = = 2 cos (ウ) n =3k+2 (kは整数) のとき 3 2n 2n +cost π干isin -π 3 3 23 =-1 思考プロセス 1 解 (1) + 2 よって 2 = = √3 より z-√3z+1=0 √3+√√(3) -4・1・1 /3 1 2 土 i 2 2 = cos(土)+isin(±)(複号同順) このとき, ドモアブルの定理により w=2cos2kz+ 4 1=2c08131 πC = -1 (ア)~(ウ)より, んを整数とすると [2 (n=3k のとき) (n=3k+1,3k+2 のとき) w= l-1 1 1 Z z" 複素数z が z+ = k ... ① (kは実数) を満たすとする。 Point z+ =kのときの " + の値 2.30 = {cos(土)+isin(土)} = cos (±5π) +isin (±5π) (複号同順) =-1 = ゆえに2/21 230 したがって 230 + 1 = 30 1-1=-2 1 2 よって (2) 2+ =-1 より -1±√3i z+z+1=0 2 = 2 土 = =cos (12/31) +isin (+12/28) (復号同順) このとき, ドモアブルの定理により w = 2" + 1 =z"+z 2 ① より z-kz+1=0 この2解は互いに共役な複素数 z, zであるから, 解と係数の関係よ よって |zl=1 すなわち |z=1 ゆえに, z=cosl+isin) とおくと z"=cosno+isinn0 したがって 1 2"+ =2"+(2")-1 2" = = (cosno+isinn0)+(cosn0+isinn0) (cosn0+isinn0)+(cosn0-isinn0) =2cosn0 2次方程式の解の公式を 用いてzの値を求める。 このことから,z" + 1 2" はnの値に関わらず実数となることも分かる YA J3 2 1 2 練習 57 (1) 複素数zが z+ = 1 2 を満たすとき, ' + 2 2 1 (2)複素数zz+ /2 を満たすとき, w = z" + 2 1 12

次の問題で青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス a=3+4i,β=1+3i とするとき, 原点と点A(α) を通る直線に関し 点B(β) 対称な点 C を表す複素数を求めよ。 段階的に考える I. 対称軸が実軸と なるように回転 II. 実軸に関して対称 III.Iと逆の回転移動 YA y B. A(a) B. A(a) •C B' 0 l' x B' l' x C' x C' Action》 線対称は, 対称軸が実軸に重なるように回転して共役複素数をとれ 解 αの偏角を0とすると a = |a|(cos0+isin0) a また a=|a|{cos(-0)+isin(-0)} よって, 点Bを原点を中心に0 だけ回転した点を B'(B') とすると B' =β{cos(-8)+isin(0)} 31 a A B. C a | a | B' 点 B' を実軸に関して対称移動し た点をC'(y)) とすると 1 r' = B' = Tal aB x 1点zと点 z は実軸に関 して対称の位置にある 点C(y) は点C' を原点を中心にだけ回転した点であるか ら y=y'(cos+isin0) = y'. 1 1 = ab a= a a 3+4i == (1-3i): = 3-4i 1 √ a a 1 | α / 2 a² B 13 + 5 9 i 5 = B | a |² = a a

次の問題の青いところが理解できないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

120 次の不等式の表す領域を図示せよ。 (1) xy(x-y) > 0 (1) xy(x-y)> 0 より (2) 2x-y2-xy+3y-20 【xy > 0 または lx-v>0 [xy<0 lx-y<0 [xy>0 fxy < 0 すなわち \y < x ① または [y > x 領域 ① は, 「第1象限または第3象限」 かつ 直線 y=xの下側。 領域 ② は, 「第2象限または第4象限」 かつ 直線 y=xの上側。 よって, 求める領域は、 ①と②の表す領域 を合わせたものであるから, 右の図の斜線部 分である。 ただし、 境界線は含まない。 y=xxy>0は第1象限と第3 象限を, xy < 0 は第2象 限と第4象限を表す。 x

次の問題で何故青いところは1なのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

a os2x+ isin foxとする。 2 5 = COS 5 (1)ω°,1+α+α + α + α,1+α+ a + α + (α) の値を求めよ。 2 (2) cos の値を求めよ。 5 (1)αド・モアブルの定理を用いる。 1+α+α+α+α^ 因数分解 x-1=(x-1)(x+x+x'+x+1) を利用。 L 前問の結果の利用 α との関係 αa = la を利用 →1+α+α+α+ (α) をつくる。 Action》 α-1 +α"-2 +... +α+1は, α-1の因数分解を利用せよ (2) COS= α-1+α"-2+ Action》αの実部は, 1/2(e+)を考えよ を表すと? 思考のプロセス 5 解 (1) a³ = (cos 2/2 -77 + isin 21/17)³ = cos2m+isin2=1 ドモアブルの定理 5 これより α-1=0 よって α キ1であるから (a-1) (ω^ +α+α°+α+1)=0 1+α+α+α + α = 0 一般に 3 x-1 =(x-1)(xn-1+xn-2 1 |α| = 1 すなわち aα = ■1より, a = であるから a 2 |a| = COS π+isin +･･･+1) 2 π 1 1+a+a² + a + ( a )² = 1+ a + a ² + = + a 1+α+α+α+α4 2 = a² =0 = =1 11+ a + a ² + a³ + a² = 0 を代入する。

青線の様な変形は何かコツはあるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス 方程式 -1 = 0 ･･･ ① を満たす虚数の1つをαとするとき ... (1) z = a,a, α も方程式 ① を満たすことを示せ。 z (2)(1-α)(1-α) (1-α) (1-α) の値を求めよ。 見方を変える (2) 方程式 ① J(1) より,解はz=1, a, a', a, ad 【変形すると (z-1) (z4+2+2+2+ 1) = 0 || (2- ]) (2- Action 》 α が "=1の解ならば, 1, α, 2, a5 解 (1) α は ① を満たすから α = 1 (-1= (a)-1=1°-1=0 (a)-1= (a)3-1=13-1= 0 このとき (a4)5-1 = (α5)4-1 = 14-1=0 •••(z) と表せる。 .・.・, α"-1 も解であることを利用せよ よって, z=d, a, a4 はいずれも ① を満たす。 (2) ① を変形すると (z-1) (z4+2+2+z+ 1) = 0 ここで,①は5次方程式であるから5つの解をもち, 1, a,d', ', 4 はすべて異なるから, (1) より ① の解は z = 1, a, a², a³, a¹ よって, 方程式 24 +2+2+z+1=0 … ② の解は z=α,a2, 0, 4 であるから 24+2+2+2+1=(z-α) (z-α°)(za)(z-α4) 両辺に = 1 を代入すると (1-α)(1-α)(1-α°) (1-α*) = 14+13 +1+1+1= 5 z = d,c,d のとき, いずれも2-1=0を満 たすことを示す。 ②の左辺はこのように因 数分解される。この式は zについての恒等式であ る。 FLAWLFF

次の(3)の問題で左下の青線は絶対値をつけたまま計算していますが何故絶対値をつけて考えるのでしょうか？もう一つな右下の青線で何故2πを出すのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

1 Z1 = 2 √3 2 + i, Z2 = 1 + i のとき,次の複素数を極形式で表せ。ただ し、偏角0 の範囲は0≤0<2 とする。 21 (1)2122 (3)122 22 思考プロセス (1)「積を計算 → 極形式」 の順で考えると・・・ √3 +1 √3-1 2122=- ・+ i ← 偏角を求めにくい。 2 2 「極形式で表す ← 公式の利用 「積を計算」 の順で考えると [21=1(cosb1+isin Oi) 積 2122= rir2{cos(01+02) +isin(01+02)} 積 ・和 122=r2(cos02+isin (2) 21 r1 商 -{cos (01-02)+isin (01-02)} 22 12 ・差 商 Action》 複素数の積 (商) は, 絶対値の積 (商) と偏角の和 (差) を求めよ 2 2 解 21 COS +isin⋅ T, -π, 22 = √2 (cos / π π 4 +isin 7 ) より [Z1, 22 をそれぞれ極形式 で表す。 | 21 | = 1, |22| = √2, arg21 = 2 -π, argz2 = H4 22 = √√2 (+) (1) |182|=|21||22| 2 11 = √2, arg2122 = arg21 + arg2 = π 十 12 3 4 12 よって Z122=2cos √ 11 12 π+isin1/12) 21 21 2 21 5 (2) = う arg. = arg21 arg22= πT 22 22 2 22 12 4 23 5 12 21 よって = √2 5 COS 5 y π十isin 22 12 12π 2 8 (3) 21 = = 1, argz₁ = argz₁ = 1/2であるから 3 N 5 21 22 = 21 ||22|=√2, arg2122 = arg 1+argz2 = π 12 ■偏角 0 は 0≦0<2πで 考えるから Z1 Z2 の偏角 よって 2122= √2(cos 19 19 π+isin π 12 12 5 は 12+2x= 19 π 12 9-2

数学　確率 画像の問題で、期待値の求め方がよくわかりません。 解説の最初に期待値はE(Xバー）=1/12、E（x^2バー）＝1/12とありますが、これはどうやって求めたのでしょうか。 また、最後に「標本平均の期待値は1/12」とありますが、これは最初のE（Xバー）=1/12... 続きを読む

【8】 ある高等学校の生徒の星座は, 12人に1人の割合でおとめ座である。 その高等学校から60人を無作為に抽出するとき, k番目に抽出され た人がおとめ座ならば1, それ以外の星座ならば0の値を対応させる確 率変数をX,とする。このときの標本平均X = 1/(X,+X2+…+X)の期 待値と標準偏差の組合せとして正しいものを,次の①~⑤の中から一 つ選べ。 ① 期待値: 12 √11 標準偏差 : 12 ②期待値: 標準偏差: √165 12 360 ③ 期待値: 12 標準偏差: √ 165 360 ④ 期待値: VII 12 標準偏差: 1 12

星印のところからが分かりません💦教えていただきたいです

148 1個のさいころをn回投げるとき, 1の目が出る相対度数をR とする。 次の 母率 各場合について, 確率 PR P(R) *(1)n=500 *(2)n=2000 cm) の値を求めよ。 60 (3)n=4500 教 p.95