Question

星光

次の様な問題が来ると問題を解く方針が全く立たなくなるのですがコツなどはあるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

2π
2π
練習 60
a = Cos + isin
(nは2以上の整数) とするとき,
n
n
(1-2) (1-α) (1-α)... (1-α-1)=n
であることを示せ。
2π
n
2π
a = cos +isin の両辺をn乗すると
n
n
2
2
an = COS π+isin π r = cos2x+isin2π
= 1
n
n
よって
α-1=0
ドモアプルの定理を用
いる。
ここで, 方程式 2"-1=0···① を考えると, α キ1より, α は方程 n≧2 であるから
式 ① を満たす1以外の複素数の1つである。
α キ1
このとき (2)"-1= (a")-1=1-1=0
(ω°)"-1= (a")3-1=1-1=0
(an-1)"-1= (a")"-1-1=1"-1-1=0
d',',
よって, z=d, 3, ..., α-1 はいずれも方程式 ① を満たす。
① を変形すると (z-1)(zn-1 +2 -2 +... +2+z+ 1) = 0
ここで方程式 ① はn次方程式であるからn個の複素数解をもつ。
1, α, 2,..., α7-1 はすべて異なるから, 方程式 ① の解は
z=1,a,a2,
Qn-1
...,
よって, 方程式 2-1+2-2+・+2 +z + 1 = 0 の解は
z= α,a2, .・・, α7-1 であるから
2"-1+2"-2+･･･ + 2°+z +1=(z-a)(za)...(z-an-1)
この両辺に z=1 を代入することにより
この式はzについての恒
等式である。
(1-4) (1-α) (1-α°)... (1-α-1)
=1"-1 +1"-2 +･･･+1+1+1
=
=n

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ワンパターンであると気楽に捉えてください
数Ⅱでωの問題をよく理解した経験があると、
この系統の問題も同様だと思えます

zⁿ=1の解は、実数解が少なくとも1つで、z=1です
他のn-1個のうち、1つの虚数解をz=αとすると、
z=α²,α³,……,αⁿ⁻¹も解になる、というのが大きな特徴です
その理由（証明）込みで知っておきましょう
模範解答にある通りです

この事実と、
zⁿ-1 = (z-1)(zⁿ⁻¹+zⁿ⁻²+……+z+1)
という因数分解を合わせると、
zⁿ⁻¹+zⁿ⁻²+……+z+1=0の解がz=α,α²,α³,……,αⁿ⁻¹
ということになるので、
zⁿ⁻¹+zⁿ⁻²+……+z+1は(z-α)(z-α²)……(z-αⁿ⁻¹)
と因数分解されます
和が積になるわけで、重要な結論ですね

zに例えば1を入れると、示すべきものが得られます

繰り返しですが、複素数平面ではよくあるテーマですので、
経験して慣れることです

星光

なるほど！有り難うございます！