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重要 例題
2直線の交点の軌跡
2
が実数全体を動くとき、次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。
1), x+my-m-2=0
115
mx-y=0
......
x=
指針 交点Pの座標を求めようと考え, ①,②をx, y の連立方程式とみて解くと
m+2
m(m+2) ← ① からy=mx
y=
m² +1'
m² +1
この式から を消去してxyの関係式を求めようとすると,
そこで,交点Pが存在するための条件を考えてみよう。
mの値を1つ定めると, 2直線 ① ② が決まり 2直線 ① ② の交点Pが定まる。
例えば
これを②に代入
計算が大変。
基本112
3
2
3
m=0のとき x=2, y=0 m=1のとき x= ₁ y=-
2'
であるから,点(2,0), (1212, 3
2
12 ) は求める図形上にある。これを逆の視点で捉えると、
2直線 ① ② の交点Pが存在するならば、①,②をともに満たす実数m が存在す
るということになる。
ゆえに、連立方程式 ①,②の解が存在する条件と捉える。 すなわち, ① を満たすm
が②の式を満たすと考え, ①, ② から m を消去しx,yの関係式を導く。
なお, m を消去するため, ① をmについて解くときに, x=0 とx=0 の場合分けが必
要となる。 軌跡を答えるときは, 除外点にも注意が必要となる。
t
検
