（2）で、8|abc|となっている理由を教えて下さい。

相加平均と相 例題67 大不の つのはどのようなときか。 図(a+b)(b+c)(c+a)> 8abe x (c+ N+)= 9 2 16 a (左辺)-(右辺) =…= ( )>0 と証明してもよいが, 定理の利用 A+B>JAB (A=Bのとき等号成立) 2 相加平均と相乗平均の関係 A> 0, B>0 のとき 1 とくに, 口+ =2 のように利用することが多い。 22 逆数どうしの和 → 約分できる Action》 正の数の和と積の比較は, (相加平均)2(相乗平均) を用いよ 9 9 +10 日) (左辺) - (a+(0+) ab a>0, 6>0 より ab>0 であるから,相加平均と相乗 平均の関係により 相加平均と相乗平均に 係を用いるときは, が正であることを確 る。 9 = 6 ab 9 ab+ 22,/ab ab A-a + 102 16 よりに A -1a qとヨ。 ab 9 よって, ab+ 両辺に 10を加える。 Aの範囲を必ずチュック. 30a+6+ 9 2 16 a 9 これは,ab = ab すなわち ab = 3 のとき等号成立。 9 ab = ab より(ab (2) a>0, b>0, c>0 であるから, 相加平均と相乗平均 の関係により a+b22/ab, b+c22/bc, c+a> 2/ca これらの辺々は正であるから,辺々掛け合わせて (a+b)(6+c)(c+a)N8/α'b°c Le であるから、 日2q>0, r? のとき pr2 s ただし、か,q, T,$ 新 =8|abc| = 8abc これは, a=bかつ 6=c かつ c=aすなわち a=b=c のとき等号成立。 いう条件が重要て 1a=b=c のとき 行目の等号がす 立つ。 思考のブロセス

（2）です。 2枚目でマーカーをつけたところで、なぜ4をかけているかわかりません。 √D/4＝1/2√2だから、1/2をかけるのではないのですか？

例題36 x, yの2次式の因数分解 S (1) yについての2次式9y°-12y+16-4k が完全平方式となるような, 実数の定数kの値を求めよ。 2x°+ xy-2y°+ 4x+5y+kがx, yの1次式の積となるように定数k の値を定め,x,yの1次式の積の形で表せ。 完全平方式…(整式)°の形で表すことができる整式 = (x+Oy+△) (x+ロッ+▽) (*) となってほしい。 《CAction 2次式の因数分解は, 2次方程式の解を利用せよ 例題35 1つの文字に着目 xに着目すると = x°+(y+4)x- (2y?-5y-k) xについての方程式 の解 x= [yの式],yの式 = (x- Lyの式」)(x-[yの式」) と因数分解される。 → (*)のようになるのは, どのような解をもつときか? 解(1) 9y?-12y+16-4k=0 の判別式を Dとすると,左辺 が完全平方式となるための条件は ay? + by +cが完全平方 式となる。 → ay°+by+c=0 が 重解をもつ。 →判別式 D=0 D= 0 D =(-6)?-9(16-4k) = 36k-108 4 36k- 108 = 0 より k=3 (2) x°+xy-2y+ 4x+5y+k=0 とおいて, x についてい x°+(y+4)x-(2y°-5y-k) = 0 ニッー4±VD 整理すると 例題 xについて解くと x= 35 D,= (y+4)°+4(2y°-5y-k) は8次方 D、 はこのx についての 2次方程式の判別式であ ただし = 9y°-12y+16-4k Sでき e る。 よって +(y+4)x-(2y-5yーk)ると D20 ーリー4+VD エメー4-D Aax + bx+c==0 の解を a, Bとすると ax° + bx +c 三 x x 2 2 これがx, yの1次式の積となるための条件は, Dがy についての完全平方式となることである。 このとき,(1)より k=3 k=3 のとき,D, = (3y-2)° であるから x°+(y+4)x-(2y° -5y-3) ーyー4+(3y-2) = a(x-a)(x-B) k=3 のとき D、%3D9y?-12y+16-4k = 9y°-12y+4 = (3y-2)? ニyー4-(3y-2) ] 2 2 = {x-(y-3)}{xー(-2y-1)} = (x-y+3)(x+2y+1) 練習36 15x°+2.xy-y°+2kx+kがx, yの1次式の積となるように定数kの値を定 め,x, yの1次式の積の形で表せ。 ただし, kは kキ0 の実数とする。 69 → p.76 問題36 ー章|32次方程式 思考のプロセス|

この問題の(3)の、 p,2p3p,…,まではわかったのですが、最後のp^n-1pが何を言っているのかよくわからないです わかりにくい質問で申し訳ありませんが教えて欲しいです🙇‍♀️🙇‍♀️

とする。このとき, 次の値を求めよ。ただし, pは素数とする。 1からnまでの自然数の中で, n と互いに素である目然数の個数を」。 Action》 互いに素である自然数の個数は, 互いに素でない自然数の個数からも二 正の整数 N を素因数分解して, N = が'g"r".… (p, 4, 7, 例題 236 互いに素である整数の個数 (2) F(b) (3) f(が) (1) f(100) 条件の言い換え nと互いに素一 nと1以外に公約数をもたない 補集合を考える Action》 互いに素である自然数の個数は,互いに素でない自然数の何称 開 (1) 100= 2° 5°であるから, 100 と互いに素でない自然 数は2または5の倍数である。 ここで,1から 100 までの自然数の中に 2の倍数は50個, 5 の倍数は 20個, 10 の倍数は 10個 よって,2または5の倍数は 50+20-10 = 60 (個) 例題 161 (1003D 2×50, 100 = 5×20, 100 = 10× 10 n(AUB) = mA) +mB- したがって f(100) = 100-60 = 40 (2) かは素数であるから, 1からかまでの自然数の中で pと互いに素でない自然数はpのみである。 したがって f(p) = p-1 (3) 1からがまでの が個の自然数に含まれるかの倍数は p, 2p, 3p, *, がカの が-1 個 1)と同様に =DXが 1個と考えても したがって f(p")= p"- p"-1 Point オイラー関数 き,1から Nまでの正の整数の中て は素数)と表される a(A) 田新は 思考のプロセス

オレンジ色でマークしたところなんですけど、何故このようになるのかが分かりません、

例題112 軌跡(6)…反転 OP 上に OP·OQ =2 を満たす点Qをとるとき,点Qの軌跡を求めよ 例題109 《Action 動点Pに連動する点の軌跡は, P(s, t) とおいて s, tを消去せよ I 軌跡を求める点 → 点Q(X, Y) とおく。 それ以外の動点 →点P(s, t) 与えられた条件をX, Y, s, tの式で表す。 条件の言い換え とおく。 の Q(X, Y) 2 【P(s, t) 条件の → 2s+4t-1=0 [X = as (a> 0) 条件の →点Qは半直線 OP上にある [Y = at 条件の→?+ X°+Y° =2 3 2の式から, s, t, aを消去して, X, Y の式を導く。 4 除外点がないか調べる。 する です 解点P(s, t), 点Q(X, Y) とおく。 点Pは直線1上にあるから 点Qは0を端点とする半直線 OP上にあるから X= as, Y = at (a>0) 2s +4t -1=0 の ベクトル(数学B) を用 いると X S= Y t= a OQ= aOP(a>0) と表すことができる。 とおくと a' のに代入すると 2X 4Y -1=0 a a よって a=2X+4Y 3) OP-OQ =2 より V+X+Y"= 2を代入すると =D2 a よって X°+Y? = 2a =2 3を代入すると よって X° +Y? = 2a X°+Y? = 2(2X+4Y) (X-2)°+(Y-4)。 %3D20 ここで,(X, Y) キ (0, 0) であるか ら,求める軌跡は 円(x-2)+(y-4)° = 20 ただし,点(0, 0) を除く。 する ゆえに 半直線 OP上に点Qを OP·0Q = (一定) となるように定める。こ のとき点Pを点Qに対 応させることを反転と いう。 x 練習112 原点0と異なる点Pに対して, 0を端点とする半直線 OP 上に, OP-0Q=4 を満たす点Qをとる。点Pが直線 y==2 上を動くとき、点Qの軌跡を求のり 196 p.222 問題112 ン 思考のプロセス」

赤い四角の部分が何のために判別式を持ってきているのかわかりません。 3q^2+1 > 0 だから異なる２つの実数界解を持つのは分かりますが、なぜ④が異なる２つの実数解をもつ必要があるのですか？ 教えていただけると嬉しいです。

頭出 例題21 楕円の2接線が直交する点の軌跡 +y=1…① に引いた2本の接線が直交すると 4 点P(p, q) から楕円 ア き,点Pの軌跡を求めよ。 軌跡の問題である。 山 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。 かのの関係式を求めたい。 P(b,の) 2 与えられた条件を式で表す。 未知のものを文字でおく 0 x 2本の接線の傾きを考える。 → 接線をyー9=m(x-p) ② の形でおく。 条件の言い換え 《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ のと2を連立した方程式を③とすると 例題 20 mの2次方程式 ① と②が接する → (③の判別式)= 0 条件の →のを満たす実数 m が2つある。 しm, ma とすると 条件 より mim2 = -1 (接線が2本ある 3 2の式からか, q以外の文字を消去して, か, qの式を導く。 4 除外点がないか調べる。 解(7) 点Pを通る直線 x=D b が楕円 に接するとき よって, 4点(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1) から, 直交 する楕円の接線 x = ±2, y= ±1 (複号任意) が引ける。 )pキ±2 のとき 接線はy軸と平行でないから, 点 点Pを通る直線は x = p または y-q= m(x-b) 頂点における接線 x= ±2, y= ±1(複号 任意)の交点である。 11 p= ±2 0 -1 P Pを通る直線は yーq= m(x-) y= m(x-b)+q とおける。 0, 2を連立すると x*+ 4{m(x-b)+qド=4 (4m°+ 1)x-8m(mp-9)x+4{(mp-q)°-1}=0…③ 楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式 ③ の判別式 を D,とすると 0 x 14m°+1キ0 より, ③ は xの2次方程式である。 D、= 0 D、 - 16m° (mp-g)-4(4m° + 1){(mp-q)°-1} 4 思考のプロセス|

ここの式変形が分からないので途中式含め教えていただきたいです！(2)です！

(1) 関数 f(x) = (x+a)e*" が, f'(0) =D 3, f"(0) = -2 を満たすとき、 (2) y=e-"cosbx のとき, y"+ 2ay' + (α°+6)y = 0 を示せ。 例題 155 第2次導関数 定数a, bの値を求めよ。 (式変形)… = 0を示す。 , y”を計算して, (__の左辺) y、=-ae" cos bx -be 見方を変える 三** (2) 素直に考えると… もう1度微分するのは大安 一 'sin bx これはもう1度微分しやす。 =ーay-be-a"sin bx ←- =yであるから Action》 第2次導関数f"(x) は, f(x) をxで微分せよ f(x), f"(x)を求める。 (eoxy = bee 闇(1) f(x) = 1·e + (x+a)·bex = (bx+ab+1)e*x f"(x) =D b·eo* +(bx+ab+1)·bebx = 6(bx +ab+2)ebt f(0) = ab+1==3 f"(0) = b(ab+2) = -2 mitni よって 0より ab= 2 これを2に代入すると 6=- 2 16(2+2) = -2 これより a= -4 したがって a= -4, 6= - 2 (2) y=e-ax cosbx 0とする。 y=-ae ax . cosbx+e-ax. (-bsinbx) これに0を代入して整理すると y= -ay-be-a" sinbx 2の両辺をxで微分すると さらにxで微分して をxの式で表し、ゾ- を与えられた等式に して証明してもよい 計算が複雑である。 hol …2 y= -ay' +abe ax . sinbx-be-ax. bcosbx …3 ここで,2より be-ax sinbx = -y-ay これと0を3に代入して整理すると y"=-ay' +a(-yーay)-ピッ したがって y"+2ay' + (α°+6°)y= 0 考のプロセス

⑶がよくわかりません。解説お願いします

エー1 57 空間のベクトルの内精 図 頻出長さがaの立万体 ABCD-EFGH において、 の内績を求めよ。 AB·AC 5)が A-BA 2,3), B( (2) BD·BG HA の座 B 点 AH·EB (4) EC·EG E F 国で考える 画 323 の内容を空間に拡張した問題である。 内積の定義)平面と同様 6=Glcos 0 lction @Action 内積は, ベクトルの大きさと始点をそろえてなす角を調べよ BC 交 と AC DVDD 00 T言とあのなす角 例題323 3 始点がそろっていないことに注意。 を|AB| = a, |AC| = /2a, ZBAC = 45° であるから A D 」 AABC はA |C|ZB=90° の直角二等 辺三角形 D B AB·AC = a×/2a×cos45° 180= α° 2BD| = |BG|= V2a, 60° であるから BD·BG = /2a×12axcos60° =a° E G B C A D ABGD は B 正三角形 D ZDBG B C E G F G EB= HC であり、 AAHC は正三角形より ZAHC = 60° D B A 3)|AH| = |EB|= /2a, C AH と EB のなす角は 120° であるから E よって, AH と EBのな AH-EB = /2a×/2axcos120° G F す角は 120° である。 A D 4) |EG| = /2a, C B ACEG でZEGC = 90° より,三平方の定理を利 用する。 EC| = VEG° + GC° = V3a H ACEG において F G V6 V2a 3 3a ACEG は直角三角形で CoS Z CEG 300円 あるから 三 EG | cos ZCEG = EC COS EC-EG-/3a×/2axcosZCEG=2α° よって 9 7章|2空間におけるベクトル

①はなんでkを使うのか教えてください🙇‍♀️

104 2曲線の交点を通る直線 曲線 円S 01★★ 円+y= 16 と直線 3x+4y-8=0 は2つの交点をもつ。この2 つの交点と原点を通る円の方程式を求めよ。 AO 本 トケ消 10 2つの放物線 y=x+x-2 と y=-x° + 5x+aが2つの共有点 2 A. Bをもち,直線 AB が点(1, 1) を通るような,定数aの値と直線 AB 章 の方程式を求めよ。 WOAction 2つの図形f(x, y) = 0 とg(x, y) = 0 の交点を通る図形は、f(x, y) + kg(x, y) = 0 とおけ (1)円と直線,(2) 2つの放物線でも同様に考える。 日 図形の方程式をf(x, y) = 0の形に変形して考える。 例題84) 開(1) 円と直線の2つの交点を通る円は (x+y°-16) +k(3x+4y-8) =0 とおける。 これが原点を通るから 円の中心 (0, 0) と直線の 距離は 1-8| V3° +4° これは円の半径4より小 さいから,円と直線は2 つの交点をもつ。 例題 81 …0 8 三 5 -16-8k = 0 よって k= -2 求める円の方程式は, ① に代入して整理すると °+y-6x-8y=0 y4 |思考のプロセス|

「上下」の意味がよく分からないので教えてください。あと、答えが共有点3つになる範囲になっているのですが、なぜそれが極値を持つ範囲か分からないので教えてください。お願いします

4次関数の極値の個数 0★★ 229 |関数 f(x) =D x* +x-3x°ーkx+1 が極大値と極小値をもつような定数k の値の範囲を求めよ。 定義に戻る 4次関数f(x) が 極大値 o(x) =D0 となるxが存在し, (f(x) が正から負) (x)が負から正) その前後で をもつ。 (極小値) に変わる。 f(x) = 0 が3次方程式であるから,例題216 のように判別式は利用できない。 |(CAction 方程式g(x) = kの実数解は, y=g(x)のグラフと直線y=kの共有点を調べよ 例題226) 目(x) = 4x° + 3x°-6x-k 関数f(x) が極大値と極小値をもつための条件は, f) = 0 となり,かつその前後でf'(x) が負から正およ び正から負に変わる xが存在することである。 このとき,g(x) = 4x°+3x°-6x とおくと, 曲線 y=g(x)と直線 y=k の上下が2度入れかわるから, 曲線 y=g(x)と直線 y=k は異なる3つの共有点をもつ。 g'(x) = 12x°+6x-6 負から正に変わるxで極 小,正から負に変わるx で極大となる。 f(x) = g(x) -k の正負 を曲線 y= g(x) と直線 y=k の上下から考える。 = 6(2x-1)(x+1) ニ わ一 g(x) = 0 とおくと x=-1, 2 よって, g(x)の増減域表は次のようになる。 -0-8-- 1 x -1 VA 2 y=g(x) 5 0 |7 9(x)|| 5 y=k 7 4 1 2 ソ= g(x)のグラフは右の図のよ うになるから,求めるkの値の範 囲は 9(x)-kの符号 上の図より, x=a, Y の とき極小,x=8のとき 極大となる。 くんく5 FO ○N→ K 考のプロセス

質問です。 ①の条件にプラスして、0<y<6も考慮して解き進めたら答えが違くなっちゃいました。 なぜyの条件は考えないのですか?教えてください

x+y=6 のとき, log」 x+log , yの最小値と,そのときのx, yの値を求 めよ。 log1x+ logiyを変形する前に,まず真数条件。 文字を減らす (2変数関数 (log_x+ log」yの最小値)条件 の利用 1文字消去 (1変数関数 log!(x の式)の最小値) 3 3 対応を考える (xの式)が最小となるとき 底に注意 最大?最小? Action》 logaf (x) の最大·最小は,f(x)の最大·最小を利用せよ キ301 (xの式)が口となるとき mmita/ 解x+y=6 より …D 真数は正であるから, x>0, ッ>0 より log1x+log」y= log1xy y=6-x 1与式をxだけで表す。 0<x<6 y=6-x>0 より xく6 与式は 3 3 3 = log」 x(6-x)go) 2 底は-(<1)より, log1x+log1yが最小となるのは, 底が0< <1より, 3 3 ソ=log』x は減少関数で ある。 真数x(6-x)が最大となるときである。 f(x) = x(6-x)とおくと f(x) =D -x°+6.x 9 ソーf(x) = ー (x-3)?+9 x軸との交点の x座標は x= 0, 6 軸は 直線 x =3 0<x<6 の範囲で, f(x) は x=3 のとき よって, log」 最大値9 3 61 x f(x)の最小値は log19= -2 1 log」9 logs9 1 logs 3 のより,x=3のとき したがって, log1x+log1y は y=6-3= 3 2 =-2 3 x= 3, y=3 のとき 最小値 -2 思考のプロセス|