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141 三角形の重心の位置ベクトル
△PQR がある. 3点P,Q,R の点Oに関する位置ベクトルを
それぞれ,D,I, とする. 辺 PQ QR, RP をそれぞれ, 3:2,
3:4, 4:1 に内分する点を A, B, C とするとき,
(1) OA, OB,OC を D, Q, で表せ.
(2) △ABCの重心Gの位置ベクトルをD, Q, で表せ
(重心の位置ベクトル)
精講
(2) OG=(OA+OB+OC)
=
-/-/12万+30 +45+37
5
4万+
+
7
5
=1/6+1+
41
22-
105
105
ポイント
OG=
△ABCの重心をGとすると
OA+OB+OC
3
すなわち,A(a),B(b),C(c), G(g) とすると
g=a+b+c
3
△ABCの重心の定義は3中線の交点(数学ⅠA78) ですが,
そのことから,次のような性質が導かれることを学んでいます.
△ABCにおいて, 辺BCの中点をMとすると
重心Gは線分AM を 2:1 に内分する点
そこで,139 の「分点の位置ベクトル」の考え方を利用す
ると,次のような公式が導けます。
B
M
C
AG=AM=/3/12(AB+AC)=1/3(AB+AC)
ここで, AB=OB-OA, AC=OC-OA, AG=OG-OA だから
OG-OA=// (OB+OC-20A)
∴OG=(OA+OB+OC)
注1.140 II をみると, 始点が口で表示してあります.
重心の位置ベクトルも始点が0でなく、口であったら
□G=/(□A+B+□C)と表現されます.
注 2. A(a) とは 「点Aの位置ベクトルを表す」という意味です.この表
現を使うと, 式表示の中に始点が現れてきません。 元々, 位置ベクトルの始
点はどこかに決めてあればどこでもよいので、このような表現ができます。
解答
(1) PA:AQ=3:2 だから
ON=20P+300_2万+36
| 139 「分点の位置ベクトル」
5
5
0
P
QB:BR=3:4 だから
40Q+3OR_4g+3
OB=
7
RC:CP=4:1 だから
Oc=
OR+40P_4万+
5
5
7
B
R
演習問題 141
正三角形ABC がある. 辺 AC に関して点Bと反対側に
DA=AC, <DAC=90°となるように点Dをとる.また, △ABC
の外心を O, ADACの重心をEとするとき, OD, OE を OA, OB
で表せ.
