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44 はさみう!
つ問いに参よ。
をnで表せ、
() =k(z1)のとき,2サ>』と似売する。
両辺に2をかけて、2*>2k レ
ここで、
2*+1>2kこk+1 すなわち,2*>k+1
2) 対の和 S,-
|2k-(k+1)-k-120」(k1 より)
3)
im S, を求めよ、
よって、n=k+1 のとき,①は成りたつ。
(i),(i)より、すべての自数nについて,2">n は広りたつ。
() 考え方は2つあります。
(2) S=+
( 学IB
11
4"
の-3より
ー1
n-
4-1
n
4"
1°
3s
4"
1-1
(2)>r2たちn
のを てらし47
4°
4
第
b,Sa,SC, のとき
Sa 3ー
ガ→0
(3)(1)より 2">n だから、(2")?>n?
リ
h
>パー0<く ー<く
4
n
n
す。(ポイント)
4
lim
n→ n
-=0 だから,はさみうちの原理より lim =0
n
nー 47-1
さらに,lim
解答
16
=0 より lim Sn=
1→
9
(1)(解1)(2項定理を使って示す方法)
のポイント
極限を求める問題の前に不等式の証明があれば、
はさみうちの原理を想定する
(エ+1)=E,Cr* にz=1 を代入すると
k=0
2"=,Co+C;t,Cat…+»Cn
n21 だから, 2"2,Cot»Ci=1+n>n
演習問題 44
次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nについて,不等式 3">n° が成りたつこ
数学的帰納法を用いて証明せよ。
; 2">n
(解I)(数学的帰納法を使って示す方法)
2">n
…0
6) n=1 のとき
SミS&
3%
(n=1, 2, …)とおく、このとき,
k=1
左辺=2, 右辺=1 だから,①は成りたつ。
2
n
3S=2。
が成りたつことを示せ。
1+ue
k=1
(3) lim Sn を求めよ。
すべての/7然数nに対して、2">n、
(2) ご計算ではなです。(数学)
lim b,==a a,=«
S=の1次式)*+ (アキ1)は S-rS を計算します。
1→ 0
