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an+2-aan+1==B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,)
(p.571 基本事項I(0,、
ニx+6を解くと,
an+2-an+1=ー5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。
(1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まないから, ② を用いて 2通りに
指針> まず,an+2 をx?, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く
572
O000
基本 例題123 隣接3項間の潮化式リ
(1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an
(2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0
指
2解を8とすると, αキBのとき
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3am} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含む から, 漸化式は
解答
(1) 漸化式を変形すると
とにつ
の,
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
0より,数外{an++2am} は初項 a2+2a1=1,公比3の等比
(x+2)(x-3)=0から
x=-2, 3
α=-2, B=3として福
an+1+2an=37-1
2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等
比数列であるから ant1-3an=(-2)"-
5a,=3"-1-(-2)"1
数列であるから
ののを利用。
3-の から
lan+1 を消去。
て Sさで
1
anミ
5
したがって
San
Gute TSaariに antに
an+2-an+1=-5(an+1-an)
ゆえに, 数列 {an+1一an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5
(2) 漸化式を変形すると
x+4x-5=0を解くと、
(x-1)(x+5)=0から
の等比数列であるから
よって, n22のとき
an+1-an=(-5)"-1
x=1, -5
n-1
an=Q;+2(-5)*-!=1+
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=&n+ +5
よって an+i+5am
k=1
三
され 6
=an+5an-1
n=1を代入すると, (7-(-5)}=1であるから, 上の式
=……=0a+5a
はn=1のときも成り立つ。
an+1+5am=7を変形し
an+1-
6
--ロー(-))
したがって
an
{7-
から a,=1-(-
意
