an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,).
指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、
上め ニx+6を解くと、
572
an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。
(1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに
基本 例題123 隣接3項間の漸化式(
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ
OO00
基本
次の寺
(1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an
(2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0
p.571 基本事項
2解を、Bとすると, αキBのとき
針>
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は
解答
(1) 漸化式を変形すると
につ
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比
の,
ゆ
(x+2)(x-3)=0から
の
x=-2, 3
α=-2, B=3として掛
のAを利用。
数列であるから
an+1+2an=37-1
2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等
3
比数列であるから an+1-3an=(-2)"!
の
がS
3-4から
5a,=3"-1-(-2)"-1
1
an=
5
|an+1 を消去。
る
したがって
ute TSanti= antレ-San
an+2-an+1=-5(an+1-an)
ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5
(2) 漸化式を変形すると
x+4x-5=0を解くと、
(x-1)(x+5)=0から
の等比数列であるから
よって, n22のとき
an+1-Qn=(-5)”-1
x=1, -5
n-1
an=Qi+2(-5)*-!=1+
k=1
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=Qn+ +50«
よって an+i+5am
三
n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式
=an+5an-1
=……=a+5a=l
はn=1のときも成り立つ。
an+1+5an=7を変形し、
したがって
a,=17-(-5)"-"}
an+1-
から a
指針>本間は,2つの数列{an}, {b»} についての漸化式が与えられている。 このようなタイプで
基本例題125 連立漸化式(1)
数列(an}, {bn}をa=bi=1, an+1=Qn+4bn, bn+1=antbn で定めるとき
OOO0
txbn+1=y(an+xb») を満たす x, yの組を2組求めよ。
(1) an+1
数列 {an), {bn} の一般項を求めよ。
【類埼玉大]
は、次の2つの解法がある。 限煙士
【解法1] 等比数列{an+kb,} を利用する。
(解法2)
anを消去して,数列{bn} の隣接3項間の漸化式に帰着させる。
3章
16
(1) は,数列 {an+xbn} が等比数列となるための条件を求めさせている。よって, [解法)
の方針で解く。
CHART 連立漸化式 an+1+cbn+1=y(an+xb。)の形を導き出す
解答
(1) an+1+xbn+1=an+4bn+x(an+bn)
=(1+x)an+(4+x)bn
参(解法2] [1つの数列
に関する漸化式に帰着させ
十る]の方針による解答
よって,an+1+xbn+1=y(an+xbn)とすると
(1+x)an+(4+x)bn=yan+xybn
an+1=an+4b, 0
2
0-,60
これがすべてのnについて成り立つための条件は
()1+x=y, 4+x=xy
ゆえに
ゆえに
(2)(1)から
bn+1=an+bn
のから an=bn+1-bns
an+1=bn+2-bn+1
これらをOに代入して
bn+2-26n+1-3bn=0
これは隣接3項間の漸化式。
特性方程式xー2.x-3=0 を
解くと x=-1, 3
よって,p.572 基本例題123
(1)と同じ方針で, まず一般項
Aイスンスもせス)
x=4
ー4
x=±2
よって
AS
an+1+26n+1=3(an+26m), ait26,=3;
an+1-26n+1=ー (an-26,), a-26,=-1
よって,数列(an+2bn}は初項3, 公比3の等比数列;
数列 (an-26,}は初項 -1, 公比 -1の等比数列。
の,
される。
ゆえに
an+26,=3·3"-1-3"
合過あ bn を求める。
n-1
(0+2)-2 から
4O, 2を an, bnの連立方
程式とみて解く。
an=
2
(0-2)-4から
6,=
内125
4
0-ke)
このタイプの漸化式は, まず2つの漸化式の和·差をとってみると,うまくいく場
合もある(か.589EXERCISES 87 (1) 参照)。
参考
0
化式を
125,120
数列 {an}, {bn} をa=1, b=1, an+1=2an-6bn, bn+1=an+7bmで定めるとき
aS」
練習
10日
ma土rh)を満たす x, yの組を2組求めよ。
種々の漸化式
えて
それに気づかなくても、解いていく中で、『あ、これは1つの式だけで解けるやつだな』って気づいていく方が自然かなぁとも思います！！