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第3章
基礎問
76 第3章 図形と式
47 軌跡(V)
mを実数とする.ry 平面上の2直線
mx-y=0①
ついて、次の問いに答えよ。
ことはないので(), (0, 2) は含まれない
よって、求める軌跡は
x+my-2m-20 ・・・・・
円 (x-1)^(-1)=2から. 点 (0.2) を除いたもの.
注 一般に、mz+n型直線は、軸と平行な直線は表せません。
それは、の頃に文字がないので,m, nにどんな数値を代入しても
(1) ①,②はmの値にかかわらず,それぞれ定点 A,Bを
A. Bの座標を求めよ。
(2) ① ②は直交することを示せ、
( ①②の交点の軌跡を求めよ。
(1) 「mの値にかかわらず｣ とあるので,「m について整理
についての恒等式と考えます。 (37)
(2) ② が 「y」 の形にできません. (36)
(3) ①②の交点の座標を求めて、 45 のマネをするとかなり大変です。
(90) したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このと
Qを忘れてはいけません。
答
(1)の値にかかわらずmr-y=0 が成りたつとき,エーリ=0
A(0, 0).
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
B(2.2)
(2)1+(-1)=0 だから,bile
mについて整理
36
が必ず残って、kの形にできないからです。逆に,の頭には文
がついているので,m=0 を代入すれば,y=nという形にでき,
軸に平行な直線を表すことができます。
45の要領で①②の交点を求めてみると.
2(1+m)
1+m
2m(1+m)
y= 1+m
となり、まともにmを消去しようとすると容易ではなく、除外点を見つける
こともタイヘンです。 もしも誘導がなければ次のような解答ができます。 こ
れが普通の解答です。
で割りたいの
0 のとき,① より m=
y
I
でイキ0,0
②に代入して+
y2-24-2=0
で場合分け
I
I
(x-1)+(y-1)=2
+y2-2y-2x=0
次に=0 のとき, ①より,v=0
これを②に代入すると,m=-1となり実数が存在するので、
点 (0, 0) は適する。
以上のことより, ① ②の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)=2 から点
(0.2) を除いたもの.
●ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき,その交点は,
ある円周上にある. その際. 除外点に注意する
①.②は直交する.
ゆ (3)
da+bb2=0
(3) (1) (2)より ① ② の交点をPとすると ① 1 ②
より, ∠APB-90°
314
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある. この円の中
演習問題 47
心は ABの中点で(1.1)
また,AB=2√2 より 半径は√2
よって、 (x-1)2+(y-1)^2
ここで,①はy軸と一致することはなく、②は直線y=2と一致する
tを実数とする. ry平面上の2直線:tr-y=t,
mx+ty=2t+1 について. 次の問いに答えよ.
(1)の値にかかわらず, 4mはそれぞれ, 定点A,Bを通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2) lm の交点Pの軌跡を求めよ.
