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例題 75
ある区間でつねに成り立つ不等式
次の条件が成り立つような定数の値の範囲を求めよ。
****
125x で、つねに
が成り立つ。
4ax+4g+8<0
2x、つねに
が成り立つ。
4ax+4g+8>()
第2
考え方 グラフで考える。/(x)=xax+44 +8 のグラフは下に凸
区内での人質が息であればよい。
であればよい。
(2)区内での最小
f(x)=(x-24-40°+40 +8
f(x)=x-4ax+40 +8 とおくと
(1) y=f(x)のグラフは下に凸なので
2
である.
6での最大値(2)または(6)
つねに f(x) <0 となる
条件は、
A
どちらも負になれば
よいから、場合分け
はしない。
f(2)=-4q+120
(6)=-20a+44 < 0
これをともに満たすのは、 a>3
(2) y=f(x)のグラフは下に凸で,軸は直線x=24
(i) 2a <2 つまり α <1 のとき
26 での最小値はF(2)
よって, 求める条件は,
下に凸なので、最小
となるのは軸. 左端
x=2. 右端x=6の
いずれか
(2)=-4a+12> 0
したがって
a<3
26x
軸の位置で3通りに
場合分け
これと a <1より, a <1
(ii) 2≤2a≤6) 1Sa≤3
よって、 求める条件は,
f(2a)=-4a²+4a+8>0
必ず、場合分けした
範囲と合わせる。
2x6 での最小値は(24)
したがって,-1<a<2
2
2a 6x
これとsaより, 1sa <2
(i) 6 <24 つまり 4>3のとき
2x6 での最小値は (6)
a-a-2<0
(a+1)(a-2)<0
-1<a<2
よって、求める条件は,
f(6)=-20g+44 > 0
したがって, a<1
これとα>3 より 解なし
よって, (i)(iii)より, a<2
(i) (日)
2 a
●場合分けしたものは、
最後はドッキング
