(4)の下から4行目のところでなんでmを用いているのですか？2mではダメですか？

66 第1章 数列の極限 **** 例題 24 無限級数の収束・発散 (2) 2,3,4 次の無限級数の収束発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ、た だし、(2)は無限等比級数である。 Szm-1-2- 3344 (4) 一般項をα 初項から第n項までの部分和をS, とする. を自然数とすると, n=2m-1のとき 2 無限級数 67 mm (1) 1+ 3+5+7+ (2) (3-1)+(4-2/3) + (6,/3-10 +•••••• (3)(3) =2 + /m したがって, /m 第1章 3.3 4.4 n+1 n+2 また, n=2m のとき, limS2m-1=2... ① n+1 (4) 2 22 33 " =(3-1)+(√3-1)'+(3-1)'+・・・・ 考え方 (1) 一般項を とするとき, lima0 ならば、無限級数 Σa, は発散する. (2)公の無限等比級数が収束する条件は、(初項)=0 または-1<r<1である。 (3-1)+(4-2/3) + (6/3-10)+・・・ よって、公比は3-1であり、-1<√3-1 <1 であるから収束する。 (3)無数Σa.. b が収束するとき, (ka.+lb.) =kZan+lZb. である(ただし,k, lは定数). (4) lim Sp≠limS (n=2m-1 のときと n=2mのときで極限値が異なる) より。 limS2m=1 ...... ② S2m=S21+a2m=2- m+2 m+1 lim よって、 ①,②より, limS2-1≠lim となり m+2 m+1 n=2m-1とn=2m のときで極限値が異なるから,こ の無限級数は発散する. 2 1+ = lim 2 m 1 1+ m Focus ・α 0 のとき 初項a,公比rの無限等比級数 定できないので a 1-r 和 (Irl<1) ・α = 0 のとき .......+ 発散 (|r|≥1) の値にかかわらず 和は 0 STJER ならば lim S は発散する。 234 解答 (1) 1+ 3'5 5+7 n 分母 奇数の列 この無限級数の第n項 4. は, an 2n-1 1 分子 自然数の列 したがって, lima.=lim n =lim 1 2 --2- (1, 2, 3, 4, .....) *-02- n 分母,分子をnで割る よって、この無限級数は発散する. 4-2/3 (2) 公比を とすると,r= 2=√3-1<1 より lar より 1-∞ m a2 r|<1 であるから,この無限等比級数は収束する. その和は、 r= ai |r| <1 より, 和は, (1, 3, 5, 7, ......) 無限級数Σan, Σb" が収束するとき, n=1 Σ(kan+lb)=kΣan+lZon n=l lim S2 = limS2n=S⇒ limS=S に収束 818 lim S2 キlimS2n⇒ lim S は発散 818 > 無限級数やその部分和を考えるときは, n=1 818 √3-1 √3-1(3-1)(2+√3) =1+√3 勝手に括弧をつけてはいけない,(p.68 Story 参照) 1-(3-1) 2-√3 4-3 &mil (3) と は、 は、 より、ともに収束するから、 (2252) も収束する。 をそれぞれ調べる. +0+0+0= に足 [オイラー 1-1+1-1+ 1 また,それぞれの和は, I Σa. Zb. * 練習 3 128 24 |収束 2 3 ** -=3. =1 1 1 ⇒(an-bn) (1) 2 3 4 5 1_2_3_4 2 of 3 |収束 (3) 3"-4 =3-1=2 2" (4) 2- 3 + 23 32 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. ただし, (2)は無限等比級数である. (2) √5+(5-√5)+(6√5-10)+..... 4 4 n+1 + n+2 32 32 + n (n+1)2 •p.81 16 17

二次関数の問題です。 1枚目の問題より、右ページの問題が2問ともわからなかったので詳しめに解説をしてほしいです。 よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

第4章 2次関数 5 標準 10分 を正の実数とし f(x)=x-2kx+6k-17k-9 解答・解説 p.27 また、f(x)がx=aのみにおいて最大値をとり,かつ,x=アにおいて最小値 をとるような定数aの値の範囲は や される ≤a< である。 とする。xの2次関数y=f(x)のグラフが点 (1,28)を通るとき,k=アである。 (1)a を実数とする。 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値・最小値を考えよう。 y=f(x)のグラフと直線x=ax=a+1の位置関係は,αの値によって、次のよう な場合が考えられる。 (a) ((b) (c) y=f(x) y=f(x) y=f(x) (2)a≦x≦a+1 における f(x) の最小値をαで表したものをm(a) とする。 α の値を変 化させたとき,m(a)の最小値は である。 AE x=a (d) y=f(x) [x=a+1 (e) y=f(x) x=a [x=a+1 ル |x=a+1 x=a x=a+1 - s (a)=f(a+1)のとき ① 7 E 0 x=a x=a+1 y=f(x)のグラフと直線 x = α, x= a +1の位置関係について, 上の (a)~(e) のグラ フのうち、f(x) の最小値がf(a)となるのはイ のときであり,f(x) の最小値が f(a+1) となるのはウ のときであり, f(x) の最小値がf(ア)となるのは I のときである。 エ 1については,最も適当なものを、次の①~⑦ のうちから一つずつ選べ。 ただし同じものを繰り返し選んでもよい。 (a) ① (b) ②(c) (d) ④(e) ⑤ (a) (b) (d)と(e) ⑦ (b)(c)と(d) 大 Aさ太

数B数学的帰納法です。 8行目の式から、なぜ11行目のすなわち〜に繋がるのかが分かりません。

基本 例題 47 数学的帰納法と不等式の証明 800000 n5 を満たす自然数nに対して, 2">n" が成り立つことを数学的帰納法に よって証明せよ。 基本事項 1 基本 45 か.420 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (一般) MOTULO TRAMS 必要な場合) [1] 出発点はn=1 に限らず [2]n=kの仮定から n=k+1 の証明 この例題では,n≧5 であるから,まず を出発点とする。 [1] n=1 のとき の代わりに [1] n=5のとき また,不等式 AB を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。 解答 (-) 2">ne ...... ① とする。 [1]n=5のとき (左辺) =25=32, (右辺) =52=25 ゆえに、不等式①はn=5のとき成り立つ。 [2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 121 2k>k2 n=k+1 のとき, ①の両辺の差を考えると 2k+1_(k+1)²=2.2"-(k+2k+1) すなわち 2k+1>(k+1)2 >2k2-(k+2k+1) =k-2k-1=(k-1)^2>0 よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。 [1], [2] から, n≧5 を満たすすべての自然数nについて不等 式①は成り立つ。 (左辺) =2+1 (右辺)=(k+1)2 <+2.2>2-k² k≧5 であるから (k-1)^2はん=5で 最小値14 (0) をとる。 42

（2）の格子点の個数がなぜこうなるかわかりません 解説お願いします🙇‍♀️

る。 座標,座 (1) 領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線 y=- 2 1 x+nで囲まれた三角形の周および 内部である。 457 yA n n- y=- (x=2n-2y) 直線 y=k(k=n, n-1,……………,0)上には, 基本 20,21 よって, 格子点の総数は =n2+2n+1 =(n+1) (個) (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ。 k=0 (2n-2k+1)=(2n-2.0+1)+(-2k+2n+1) k=1 =2n+1-2・1/13n(n+1)+(2n+1)n 1 0 1 2 2n-21 2n 1 2n-1 k=0 の値を別扱いにし たが、 -2k+(2n+1)1 k=0 --2-(n+1) k=0 +(2n+1)(n+1) でもよい。 章 3種々の数列 別解 線分x+2y=2n (0≦y≦n) 上の格子点 (0, n), (2-1), (2n, 0) の個数は n+1 YA -x+2y=2n n 2-2y 点が並ぶ 止める個数 4(0, 0), (2n, 0), (2n, n), (0, n) を頂点とする長方形の周 および内部にある格子点の個数は (2n+1)(n+1) ②の方針 X 長方形は, 対角線で2つ の合同な三角形に分けら 0 2n (n+1) 個 れる。 ゆえに、求める格子点の個数をNとすると 2N-(n+1)=(2n+1)(n+1) よって ( 求める格子点の数) ×2 - 対角線上の格子点の数) =(長方形の周および内 部にある格子点の数) よってN={(2n+1)(n+1)+(n+1)} Jei (AZ) =1212 (n+1)(2n+2)=(n+1)(個) (2)領域は,右図のように, y軸, 直線 y=n2, 放物線 y y=x2 y=x2 で囲まれた部分である (境界線を含む)。 直線x=(k=0, 1,2, ....... n) 上には, n² n2-1 (n-k2+1) 個の格子点が並ぶ。 n2+1 よって, 格子点の総数は 個 は nとお る。 練習 32 k=0 (n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²) 1 k=1 0 x = (n²+1)+(n²+1) 1-k² k=1 別解 長方形の周および内 =(n+1)+(n+1)n-1/n(n+1)(2n+1) 部にある格子点の個数 (n+1) (n+1) から領域 =(n+1)(4-n+6)(個) 外の個数を引く。 k=1 Ixy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。 (2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x² p.460 EX 21 (1)x0,y≧0, x+3y3n

この問題の解き方を教えてほしいです

(3)条件sがある。 sはかであるための十分条件であるが、必要条件ではない。こ ?. のとき,次の①~④のうち、条件として正しいものは, 大 工 エである。 S=78 H の解答群 3mm Taj ms mn は偶数 ③ m+nは偶数 -mとが少なくても一方が偶数であるものは ここで、「アニ7mmは数」真、「p=thは奇数」 ①mnは奇数 m+nは奇数 ②mnは 3 の倍数

数1の数と式の問題です。 マーカーを引いた部分の式がなぜこのようになるのかを教えていただきたいです。

昌樹 (3)x+y+23 簡単にせよ。 =(x+y+z)(x2+y+z-xy-yz-zx) +3xyz が成り立つから (2) より x+y+z=2√2+1){7-(2√2+1)}+3 =2(2√2+1)(3−√2)+3=10√2+1 x,y,z (3つの文字) に関する対称式, 基本対称式 + JoJ この等式は、入試問題で はよく使われる。 覚えて おこう! 上の (1)~(3) では x, y, zのどの2つを入れ替えてももとの式と同じになる。これらを x, 検討 y,zの対称式という(p.35, 55 参照)。 学 業の左取を また,x+y+z, xy+yz+zx, xyz をx, y, zの基本対称式といい,x,y,zの対称式は, これら基本対称式を用いて表されることが知られている。 例えば, 次の等式が成り立つ。 Motor tx²+y²+z²=(x+y+2)²-2(xy+yz+zx) x3+y+=(x+y+2) ³-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz MS

なぜS3mなんですか？？教えてください！！

例題 26 無限等比級数(1) 周期性のある数列 **** 2n an=sin 3 π (n=1, 2,......) とするとき,無限級数の和Σ- An n=1 10" を求 こ めよ. 考え方 に 1,2,3,...... n 1 2 3 4 5 23 2 4 πT **2* 83 πC 103 π と具体的な値を入れて、 α の規則性を考えればよい. 4π n=1,4,... YA 6 23_ 2n sin- √3 √3 -π 3 2 32 √3 √√3 0 0 4. TU 2 10 3π n=3,6,... x n=1,4,…,3m-2のとき n=2,5, n=3,6, wwwww 2n √3 sin π= 2n 23 23 23 n=2,5,... + (I). 2 (x+1) カトル級数) === 3m-1のとき sin 27=-√3 OR 2n 3m のとき sin- [メルカトル 0は自然数)となっている. +鉄粉)となっている 解答 mを自然数とすると, (0人) + sin 2n √3 √3 π= (n=3m-2), (n=3m-1), 0 (n=3m) 2 2 となり、数列{o}(n-1)は, √3 √3 +1√3 √3 0, 0, 156 2・102' ※2・104' (3-2) 番目の項だけを考えると, 初項 2・10' 2・105' √3 公比 2.10' の等比数列となり, 103 √3 (3-1) 番目の項だけを考えると,初項 公比 2102' 103 の等比数列となる. m したがって,初項から第n項までの部分和をS, とすると,n=3m のとき, 300km √3 1 \1 √3 3m k=1 2.10 103 2.102 103 √33 となり1より lim S3m 2.10 2・102 5√3 1 1 111 √3 m また, S3m+1=S3m+ 2.10 ①②より, lim S3m+1= limS3m +25 →∞ 1-0 3 103 m m 11. S-SS-+-10(10) 210(10) 5 a 2.10 an n=1 10" 5√3 111 =(aを11で割った余り) (n=1, 2)と定義された 103 3m+2 √3 13m 5√3 111 より200

(2)の問題です。 どうして４行目の式になるかわかりません。 6C1+6C2+6C3で終わりかと思いました あとなぜ余事象を使って求めるのか教えてください よろしくお願いします！

E(X)=4, V(X り、 E(X 5 5 139 二項分布 B(n, p) に従う確率変数X について, その平均はm=2 で, 標準偏 2√3 差は o= である。 このとき, 次の問いに答えよ。 3 □ (1) n, pの値を求めよ。 □(2) |X-m|>o となる確率を求めよ。 □ (3) X2 の平均E(X2)を求めよ。 → 例題 21

数Cです、 教えてください🙇⋱

21*4点A (x, y), B(2, 1), C (5, 2), D (4,6) を頂点とする次の四角形が平行四辺形になるよう xyの値を定めよ。 (1) 四角形 ABCD →教p.21 例題 3 D

答えの意味がわからないです教えてください！！

n→∞ 1 _(4) Sm=1- 1 1 + 3 5 1 1 1 T + 2 4 6 π lim S,=4. lim Th n ··+(-1)"-1 +(-1)"- 2n-1' (2 1 たとえば、 F.Dail 2n+gol (n=1,2,……) とおくとき 4' TimT.12 log2 を示せ. n→∞ n→∞ A 11:15 180M