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第1章 数列の極限
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例題 24
無限級数の収束・発散 (2)
2,3,4
次の無限級数の収束発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ、た
だし、(2)は無限等比級数である。
Szm-1-2- 3344
(4) 一般項をα 初項から第n項までの部分和をS, とする.
を自然数とすると, n=2m-1のとき
2 無限級数
67
mm
(1) 1+
3+5+7+
(2) (3-1)+(4-2/3) + (6,/3-10 +••••••
(3)(3)
=2
+
/m
したがって,
/m
第1章
3.3 4.4
n+1
n+2
また, n=2m のとき,
limS2m-1=2... ①
n+1
(4) 2
22 33
"
=(3-1)+(√3-1)'+(3-1)'+・・・・
考え方 (1) 一般項を とするとき, lima0 ならば、無限級数 Σa, は発散する.
(2)公の無限等比級数が収束する条件は、(初項)=0 または-1<r<1である。
(3-1)+(4-2/3) + (6/3-10)+・・・
よって、公比は3-1であり、-1<√3-1 <1 であるから収束する。
(3)無数Σa.. b が収束するとき, (ka.+lb.) =kZan+lZb.
である(ただし,k, lは定数).
(4) lim Sp≠limS (n=2m-1 のときと n=2mのときで極限値が異なる)
より。 limS2m=1 ...... ②
S2m=S21+a2m=2- m+2
m+1
lim
よって、 ①,②より, limS2-1≠lim となり
m+2
m+1
n=2m-1とn=2m のときで極限値が異なるから,こ
の無限級数は発散する.
2
1+
= lim 2
m
1
1+
m
Focus
・α 0 のとき
初項a,公比rの無限等比級数
定できないので
a
1-r
和 (Irl<1)
・α = 0 のとき
.......+
発散
(|r|≥1)
の値にかかわらず
和は 0
STJER
ならば lim S は発散する。
234
解答 (1) 1+
3'5
5+7
n
分母 奇数の列
この無限級数の第n項 4. は,
an
2n-1
1
分子 自然数の列
したがって, lima.=lim
n =lim
1 2
--2-
(1, 2, 3, 4, .....)
*-02-
n
分母,分子をnで割る
よって、この無限級数は発散する.
4-2/3
(2) 公比を とすると,r=
2=√3-1<1 より
lar より
1-∞
m
a2
r|<1 であるから,この無限等比級数は収束する.
その和は、
r=
ai
|r| <1 より, 和は,
(1, 3, 5, 7, ......)
無限級数Σan, Σb" が収束するとき,
n=1
Σ(kan+lb)=kΣan+lZon
n=l
lim S2 = limS2n=S⇒ limS=S に収束
818
lim S2 キlimS2n⇒ lim S は発散
818
> 無限級数やその部分和を考えるときは,
n=1
818
√3-1
√3-1(3-1)(2+√3)
=1+√3
勝手に括弧をつけてはいけない,(p.68 Story 参照)
1-(3-1) 2-√3
4-3
&mil
(3)
と
は、
は、
より、ともに収束するから、 (2252) も収束する。
をそれぞれ調べる.
+0+0+0=
に足
[オイラー
1-1+1-1+
1
また,それぞれの和は,
I
Σa. Zb. *
練習
3
128
24
|収束
2
3
**
-=3.
=1
1
1
⇒(an-bn)
(1)
2 3 4 5
1_2_3_4
2
of 3
|収束
(3) 3"-4
=3-1=2
2"
(4) 2-
3
+
23
32
次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. ただし,
(2)は無限等比級数である.
(2) √5+(5-√5)+(6√5-10)+.....
4
4
n+1
+
n+2
32
32
+
n (n+1)2
•p.81 16 17
