Question

May3

どうしてnを自然数としちゃうんですか？

(
2
に表されることを示せ.
任意のxに対して f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=0が成り立つとき, 整式 f(x) は ax + b の形
(30点)
a)2), C(t+α+1, (t+α+1)2)

2
(30点満点)
任意の自然数nに対して
f(n+1)-2f(n)+f(n-1) = 0
⇔f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)
が成り立つから
f(n+1)-f(n)=f(1)f(0)
∴. f(n)=f(0)+n{f(1)-f(0)}
f(1)-f(0) =a, f(0)=b とおくと
f(n)=an+b(n = 1, 2, 3, ...)
よって,g(x)=f(x)-(ax+b) とおくと, g(x)はxの整式ィで
g(1)=g(2)=g(3) =......
........=0 | >>
無限個の異なる値に対して0となる整式は0だけだから
g(x)=0
∴. f(x) = ax + b|オ
(別解) f(x) が2次以上とすると
f(x)=ax+bxn-1
+can-2
+... (a≠0.n≧2)
とおけるから
f(x+1)-2f(x) +f(x-1) = 0
に代入して, 両辺の x7-2 の係数を調べると
2amC2=0 an(n-1)=0
となり, a≠0,n ≧ 2 に矛盾する.
∴. f(x)は1次以下の整式
ア･･･4点
イ･･･2点
ウ･･･4点
エ･･･ 4点
オ... 3点
5点
」 4点
|4点
|5点
|4点
8点
(二項定理で展開)
|6点
(左の式でよい)
|4点
|3点

Answer 1

🍇こつぶ🐡

「任意の x」なら「自然数」でも絶対に成り立つから。

元の問題は「どんな xでも成り立つ」と言っている。
それなら、 xが 1, 2, 3 ……といった「自然数 n」のときだけを切り取って考えても、当然このルールは成り立つから。

自然数にすると「等差数列」の考え方が使える。
式をよく見ると、次のように変形されている。
f(n+1) - f(n) ＝ f(n) - f(n-1)

これは「次の項との差が、常に一定である」という意味になり、等差数列の漸化式そのもの。

xのままだと実数全体（小数や分数など）を細かく扱わなければいけないが、自然数 nに絞ることで、おなじみの公式から一気に f(n)＝an + bという綺麗な形を導き出すことができる🙇