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in+1) (2h+1)
重要 例題 122 an = f(n) a型の漸化式
a₁=1 / 2²₁
求めよ。
解答
指針 与えられた漸化式を変形すると
ちゃんと理解したい人のための高校数学
an=
-an-1
n+1
これは p.567 基本例題121 に似ているが, おき換えを使わずに,次の方針で解ける。
an=f(n){f(n-1)an-2}
[方針1] an=f (n) an-1 と変形すると
これを繰り返すと
an=f(n)f(n-1)···ƒ(2) a₁
よって, fn)f(n-1.…..f(2) はnの式であるから, anが求められる。
の形にできないかを考える。
00000
類 東京学芸大
(n+1)an=(n-1) agi (n≧2) によって定められる数列{an}の一般項を
んのときaoになってしまうから×
〔方針 2] 漸化式をうまく変形してg(n)=g(n-1)
この形に変形できれば
よって
解答1. 漸化式を変形して
ゆえに
これを繰り返して
練習
122
an=
n=1のとき
よって
したがって
an=
an=
a₁ =.
g(n)an=g(n-1)an-1=g(n-2) an-2==g(1)a
g(1)a
g(n)
として求められる。
ムの範囲について確認
であるから, an =
n-1 n-2
n+1
2･1 1
(n+1)n2
3
求めよ。
-an-1 (n ≥2)
an=
201-2(カ≧3)上記と同様に
n
n1n-27-3
n+1 n
n-1
n+1
解答 2. ① を次のように求めてもよい。
漸化式の両辺にnを掛けると
n-1
1
1
1･(1+1) 2
a₁=1/22
12 であるから、①はn=1のときも成り立つ。
an=
32 1
5 4 39
すなわち
すなわち an =-
1
n(n+1)
ん。このときのになってしまうか
(n+1) nan=n(n-1)an-1 (n≧2)
(n+1)nan=n(n-1) an-1=......=2·1·α=1
1
n(n+1)
◄an=
n-1
n+1
an-1
-1 n-2
n
n-2
n+1
n+1
n
-a₁-₂
n-3
n-jan-3
anponentiが含まれ
ut an-11²1-1.h
が含まれるように、教の宗教
47-11 543 761·183)
n+1とn-1の間にあるレ
in を掛けると都合がよい。
数列{(n+1)nan} は、 すべ
ての項が等しい。
まめ
小数項は考えないから
まと
代表的な
①1 等
②等
>2ではダメ?
数列は第1項、2項・・・と、
(+2)a=(n-1) an-1 (n≧2) によって定められる数列{an}の一般項を
〔類 弘前大]
③3階
[4]
a
(1)
C
②
15
