(3)で小球が最高点に達した時、２物体の速度が等しくなる理由を教えて下さい。 解説を読んでも分からなかったです。 どなたかよろしくお願いします。

17 保存則 53 17 保存則 曲面 AB と突起Wからなる質量 Mの台が水平な床上にあり,台の左 側は床に固定されたストッパーSに 接している。Bの近くは水平面とな っていて,そこからんだけ高い位置 にあるA点で質量 m(m<M)の小 A小球 m W S M B 床 球を静かに放した。小球は曲面を滑り降りて突起w に弾性衝突し,台 はSから離れ,小球は曲面を逆方向に上り始めた。台や床の摩擦はな く,重力加速度をgとする。 (1) 突起Wと衝突する直前の小球の速さはいくらか。 (2) 小球が Wと衝突した直後の, 小球と台の速さはそれぞれいくらか。 (3) 小球が曲面を上り, 最高点に達したときの台の速さはいくらか。 また,最高点の高さ(Bからの高さ)はいくらか。 次に,ストッパー Sをはずして,台が静止した状態で,小球をA点 で静かに放す。 (4) Wに衝突する直前の,小球と台の速さはそれぞれいくらか。 (5) Wとの衝突後,小球が達する最高点の高さはいくらか。 F (東京電機大+日本大) Level(1) ★★ (2) ★ (3) ★ (4), (5) ★★ Point & Hint (2) 弾性衝突は運動エネルギーが保存される衝突だが, 反発係数 e=1 で扱いた い。 (3) 最高点に達したとき, 小球は台に対して一瞬止まる。水平方向には外力がない ので,ある保存則が成り立つ。後半はもう一つの保存則を用いる。 ただし, 物体 系に対して適用する。 (4) 2つの保存則の成立。 (5) (3)と同様に考えるのが正攻法だが, ……もっとスッキリと解ける。

問題とは直接関係ないのですが、(7)の図のx1→x3→x4で、等速度運動しないのはなぜか教えて頂けませんか？ 静電気力が小さくなることで、x1以降は摩擦力が静電気力と釣り合うようになり、加速度が0になることから等速度運動する、という風にはならないのでしょうか？

(1) nまでは等速度運動だから、力がつり合う。点Oから離れるにしたが。、 て左向きの静電気力 qEが増し、それに応じて静止摩擦力が右向きに地」 ていく。やがて、おでは最大摩擦力umg に達する。そこでの電場の強さ E= より 電気 13 静電気·単振動 47 HE 13 静電気·単振動 水平右向きにx軸をとり,原点を0 電場 電場 とする。水平方向に -ax で表される -出mg aq q*a =mg 電場(電界)をかける(xは座標で, aは 図P 正の定数)。そして,水平右向きにベ ルトを一定の速さで動かす。正電荷q は向きを含めて 一g"axと表せる(ばねの弾性力と類似)ので ド=-aqx + mmg ベルト (2) Pはベルトに対して左へ滑るので、動摩擦力は右向きに働く。静電気。 を帯びた質量 mの小物体Pを点Oの位置でベルト上に置くと,Pは F=-aq (x-mg) aq (3) 上式を変形すると ベルトに対して滑ることなく動き始めた。Pとベルトの間の静止摩 これよりPはェ= mg(< x)を振動中心として単振動をすることが aq 擦係数をL, 動摩擦係数を μ(<μ)とし, 重力加速度をgとする。 ベルトは帯電しないものとする。 分かる(復元力の比例定数K=aq)。 もちろん。振動中心で最大の速さとなるので 出mg aq Pはやがて位置:x=(1) ]で滑り出す。 その後のPに働く合力F は,Pの位置xを用いて, F=(2) (4)単振動のエネルギー保存則(Fエッセンス(上)p79)より と表せる。Pはx=bで一瞬 静止した後,左へ戻り, 位置 x2=D (3)で最大の速さ Um=L(4) となる。x=bから x2に至るまでの時間は カ=D(5) である。その 後,Pは x =(6) で再び一瞬静止し, 右へ動くが, x4=(7) でベルトに対して静止し, 再び滑り出すまでには, ベルトの速さを (関西大+大阪大) K(b-xx)?= るV | aq = (b-mg aq V aq m (5) 右端から振動中心に移るまでの時間だから、周期Tの一である。 m- m Vとすると,tz=(8)の時間がかかる。 (6) は左端で、振幅A=b-xだけ、 中心xxの左側にあるので(次図を 参照) =-A= 2xーb=mg なお,(4)は、。=Ao =(bーx)·2x/Tとして求めてもよい。 Level(1), (2) ★ (3)~(6) ★ (7), (8) ★★ ーb aq 会 ( (7) Pは左端から右へ向かって速さを増していく。次図のように, ベルトの 速度Vと同じになるのは, 単振動の対称性から(ベルトに対して滑り始め た)位置xと振動中心をはさんで同じ距離だけ左に離れた位置 xx となる。 Point & Hint 力学としては,ばねに付けられた物体の, 動くべ ルト上での運動と同等である。 自然長 ma P V (2) Pはペルトに対して左へ滑る。 すると動摩擦力 の向きは…。 ベルト V Oms (3)~(6) (2)の合力Fの式から運動 (地面に対する運 動)が確定する。そして,いろいろな量が求められる。ん (7) Pの速度がベルトの速度と一致するのは…。 それまでの運動のもつ対称性 0 を利用したい。 単振動のエネルギー保存則で考えてもよい。振動中心から同じ距離だけ 離れた位置での単振動の位置エネルギーは等しいから, 運動エネルギーが (つまり速さが)等しい。 次図より . = 2xーx= aq mg (2h-) X- = Xー A A 左端 中心 右端 b -V ロー 赤点線は単振動 黒点線は等速V (8) xに達するまでは, Pはベルトに対して左へ滑り, (2)の「Fに従う単振 動であったが、いったんベルトに対して止まると,静止摩擦力に切り替わ り,Xに達するまではベルトと共に等速Vで動く。 ね= 2(x- x) V X-X 2mg ミ) agV

名門の森32番の(5)番で質問があるのですが、 最後の三角関数の式は(2/d√k/m cos√k/m(t-π√m/k)はどのように式変形すれば答えに書いてあるようになるのですか？ 教えてください。

96 力学 ECHURE (1) Aの座標を と表されるの 32 単振動 ばね定数kの軽いばねを滑 らかな水平面上に置き, 右端 に質量mの小物体Aを付け。 左端を固定する。ばねの方向 にx軸をとり,ばねが自然長 のときのAの位置をx=0 と する。そして、質量3mの物 体BをAに押しつけて, ばね を自然長からdだけ縮めた後。 静かに放す。 (1) 動き始めてからしばらくの間は, AがBを押しながら運動する。 このときAがBを押す力の大きさNをAの位置:の関数として表せ。 (2) AとBが離れるときのAの位置:および, 離れた後のBの速さ u を求めよ。 (3) 動き始めてからAとBが離れるまでの時間 toはいくらか。 (4)Bを放したときを時刻=Qとして, Aの位置xの時間変化を表 すグラフを上の図に描け。 0mmm LAS 0 AはBから」 えて、Aの道 d A: m この式は ばねが自然 性力が左向 一方,F 2。 Sto 0.2カ (2) BがA つまり ばねが縮 然長を超 なお、 の上で 自然 カた(5) t2(to)での Aの速度ムを時刻tの関数として m, k, dを用いて 一体と 時 じゃない 表せ。\まではACBO年院)(山口大+東京学芸大) Level(1)~(3) ★ (4) ★ (5) ★★ (3) 離 Base ばね振り子 (x= Point & Hint O O なる (1)作用·反作用と, xが負の値であるこ とに注意して, 運動方程式を立てる。 (2) 離れるときに注目すべき量は… ? (4) 2つの量を求める必要がある。 (5) 単振動の時間変化は sin ot や cos.ot を用いて表すことができる(位置速度。 加速度,力について)。 周期 m T= 2π\ R m 振動中心は力の 0 O つり合い位置 ※ばねの力のほかに一定の力 と が加わっても周期は不変。 た レ……… F00m-

この問題の(1)の解答の青矢印のところの途中計算教えて欲しいです。（20sin30 °のところの計算の仕方です）

基本例題9斜方投射 *36,37,38,39 地上から水平より 30° 上向きに,初速度 20m/s で小球を投げ上げた。重力加速 度の大きさを9.8m/s? とする。 (1)最高点に達するまでの時間 [s] を求めよ。 (2) 最高点の高さん[m] と, 投げた点から最高点までの水平距離 xi [m] を求めよ。 (3) 再び地上にもどるまでの時間z [s] と,水平到達距離 x2 [m] を求めよ。 指針 投げた点から水平 (x) 方向に等速直線運動, 鉛直上(y) 向きに加速度 -gの等加速度運動 をする。最高点(vッ30 の点)を境に上りと下りが対称になることに注目する。 解答(1)「ひ=vo-gt」 をy成分について立 y 最高点 (ッ=0) てると,最高点では ひy=0 より 0=20sin30°-9.8×丸 ti=1.02…=1.0s (2)「ー=ー2gy」 より 0°-(20sin30°)=-2×9.8×h 20m/s 6-↑ 20sin 30° 130° 0; 20cos 30° X」 100 h= 2×9.8 X2 =5.1m x方向には等速直線運動をするから 「x=ut」より X=20cos 30°× =10×1.73×1.02=17.6…=18m (3) 対称性より X2=2x」=2×17.6=35m t2=2t=2.0s POINT 水平方向:等速直線運動 + 鉛直方向:自由落下 水平投射 ナ 斜方投射 水平方向:等速直線運動 + 鉛直方向:鉛直投射

この問題の(1)の解答の青矢印のところの途中計算教えて欲しいです。（20sin30 °のところの計算の仕方です）

基本例題9斜方投射 *36,37,38,39 地上から水平より 30° 上向きに,初速度 20m/s で小球を投げ上げた。重力加速 度の大きさを9.8m/s? とする。 (1)最高点に達するまでの時間 [s] を求めよ。 (2) 最高点の高さん[m] と, 投げた点から最高点までの水平距離 xi [m] を求めよ。 (3) 再び地上にもどるまでの時間z [s] と,水平到達距離 x2 [m] を求めよ。 指針 投げた点から水平 (x) 方向に等速直線運動, 鉛直上(y) 向きに加速度 -gの等加速度運動 をする。最高点(vッ30 の点)を境に上りと下りが対称になることに注目する。 解答(1)「ひ=vo-gt」 をy成分について立 y 最高点 (ッ=0) てると,最高点では ひy=0 より 0=20sin30°-9.8×丸 ti=1.02…=1.0s (2)「ー=ー2gy」 より 0°-(20sin30°)=-2×9.8×h 20m/s 6-↑ 20sin 30° 130° 0; 20cos 30° X」 100 h= 2×9.8 X2 =5.1m x方向には等速直線運動をするから 「x=ut」より X=20cos 30°× =10×1.73×1.02=17.6…=18m (3) 対称性より X2=2x」=2×17.6=35m t2=2t=2.0s POINT 水平方向:等速直線運動 + 鉛直方向:自由落下 水平投射 ナ 斜方投射 水平方向:等速直線運動 + 鉛直方向:鉛直投射

(3)で、V(b)=V(c)になるのはわかるんですけど、V(b)がQ/4πεbじゃない理由がわかりません。r=bでの電場の強さもE=…の式で表されて点電荷の電場と同じではないのですか？

】 電気力線の密度が一様となる例 電荷が球面上に一様に分布する場合) 実戦 基礎問 68 /N=. -S=4π (電荷が平面上に一様に分布する場合) (正·負に帯電した金属板) 図のように,半径aの導体球を導体球と同心の電荷を もたない内半径めで外半径cの中空導体球で囲み,半径 aの導体球だけに正の電荷Qを与えた。導体の球面か ら出る(または入る)電気力線の本数はその面積によら ず一定で, その分布は一様である。また,電気力線の本 1本(Eo: 真空の誘電率)で与え 電気力線と電場 Q Q Q E= 4TEor S N=2本 -Q 図1 図2 数は単位電荷あたり, 1の電場の強さは, Eoとんの関係より, E=kQ 。 Eo られるものとする。 13) 中心からの距離が6, cの位置における電位をそれぞれ求めよ。た州。 無限遠方の電位を0とする。 (防衛大) 図3 (1) 静電誘導により,導体中に電気力線は存在せず,電場は0である。 ●ガウスの法則 電気量Qの電荷から出る(Q>0 の場合)。 たは電荷に入る(Q<0 の場合)電気力線の本数 N は, クーロン 解説 (2) 題意より,中心からの距離rが くrくbおよび c<r では,右図のように,電気力線は 中心から放射状に出たようになっており, その本数は、 (精講 の法則の比例定数をん, 真空の誘電率を Eo とすると、 JQl (ここで、ー 1 である) 4TE。 N=4rk|Q|= 本 Eo N=Q 本である。電場の強さは単位面積あたりの電気 Eo 力線の本数だから,a<r<b での電場の強さ Eは、 発展 閉曲面を出るまたは入る電気力線の総本数は,閉曲面内部の電気量 の和から求められる。 ●電場と電気力線電気力線の向き(接線の向き)が,その場所の電場の向きで ある。電気力線に垂直な断面を貫く単位面積あたりの電気力線の本数が,その 場所の電場の強さである。 電気力線の密度が一様である場合,面を垂直に貫く電気力線の総本数を N, 面の面積をSとすると,電場の強さEは, N E= 4元r? Q 4TEor2 (3)(2)の考察より,c<r での電場の強さも上の式で表され、点電荷の電場と同じであ る。よって, cSr での電位Vは, 点電荷の場合と同様に, Q V= 4TEor Q 4TEC よって,r=cの電位 V。は、 V= N E=- また,導体中の電場は0であるから,導体中のすべての点の電位は等しい。よって、 r=b の電位 Voは, Point41 Q V。=V。=- 4TEoC 電気力線の分布が同じ → 同じ電場. 電位の公式に従う Q 4TEor? (3) 6, cともに、 4TEOC 154 9.電場,コンデンサー 155 第4章 電気と磁気

なんで➀の式が成り立つんですか？

基本問題 基本例題65)キルヒホッフの法則 物理 図の回路において, E,=28V, E,=14V, R,=202, R,=40 Q, R。=102である。電池の内部抵抗は無視で きるものとして, R,, R2, R, の各抵抗を流れる電流の 大きさと向きを求めよ。 R、 a ,E R。 b R。 閉回路 abeda :28=20I,+401, …2 閉回路cbefc :14=1013+4012…③ 式ののI=I+I,を式②, ③の1,に代入し,計算 すると,I,=0.60 A, Is=-0.20A となる。これか ら,I=0.40A と求められる。I,は符号が負なの で,最初に仮定した向きとは逆向きになる。 以上から,R」:0.60A, d→aの向き, R.:0.40A b→eの向き,R,:0.20A, c→fの向き 各抵抗を流れる電流の向きを仮定し, 指針 キルヒホッフの法則を用いて式を立て,連立させ て求める。 R,, Re, R。の各抵抗を流れる電流 をI, Ie, Is とし,図のような向きに流れると仮 定する。回路の分岐点bにおいて,キルヒホッフ 解説 の第1法則を用いると, また,キルヒホッフの第2法則を用いて,閉回路 abeda, cbefcの向きについて式を立てる。 E、 Q (Point キルヒホッフの法則を用いるとき。 電流の向きが推測しにくい場合でも, 適当に向 きを仮定して式を立て,計算で得られた値の行 号から向きを判断するとよい。 また, 閉回路の 取り方は一通りではない。 式を立てやすい閉回 路を考えるとよい。 本間では, abcfeda の面 回路を取ることもでき, 28-14=201,-104の 式が得られ,同じ結果が導かれる。 R」 d 28V a 20 2 I。 R2 b 402 - Is R。 E。 f 14V 102

至急お願いします！🙏💦 写真2枚目の（２）緑囲みのところの式変形、途中式教えてください！ また、pointに書いてあるのやったら１番下に書いたようtanθがなく答えと異なってしまうのですがどうしてですか？

発展例題5 斜面への斜方投射 図のように,傾斜角0の斜面上の点0から, 斜面と Do 垂直な向きに小球を初速 n で投げ出したところ, 小球は斜面上の点Pに落下した。重力加速度の大き P さをgとして,次の各問に答えよ。 (1) 小球を投げ出してから, 斜面から最もはなれるまでの時間を求めよ。 (2) OP 間の距離を求めよ。

読んでいただいてありがとうございます。 力学の質問があります。 こちらの問題の（2）なのですが、私はカエルの出したエネルギーというのが、どうにも気持ち悪くて、画像2枚目のように力積で考えてみたのですが、答えが合いません。。 どこで間違ってしまっているのでしょうか。 どなた... 続きを読む

カ学 58 天井からつるした滑車の両側に,それぞれ質 量mの皿A, Bをつるし、 皿Aに質量 Mの蛙、 皿Bに同じ質量Mのおもりをのせてつり合わせ る。I, 蛙, おもり以外の質量は無視できる。 この蛙は,床では高さんまで鉛直にとび上が れる運動エネルギーを出せるものとする。蛙が 同じエネルギーで皿Aから鉛直にとび上がると き、以下の間に答えよ。蛙の大きさは無視する。 0(1) 蛙が皿からとび上がるときの床に対する初 速度の大きさをVとし, 皿Aが床に接近する初速度の大きさかた 19 保存則 19 保存則 59 M V M+2m リ= 正の向きを 決めるのに 運動量保存則が成り立つためには, 物体 系に外力が働かないか, 働くとしても, そ GくUターン形 x4 x の座標軸を の力が0であればよい。 考えている。 M M (2) 蛙が出したエネルギーは Mgh であり, いまは,それが全体の運動エネル いだしたし4んかし 20 ギーに使われているから Mgh = ;MV2+小(m+M+m) 1 2 A B 2 (M+2m)gh M+m のを代入してVを求めると V= (3) 蛙がとんだ後の,皿とおもりの系につ いても1次元化を利用すると,加速度を a (M+m)g M, m, およびVで表せ。 X (2) 蛙の初速度の大きさ VをM, m, h, および重力加速度gで表せ。 (3) 蛙が皿Aから離れる距離の最大値はんの何倍か。ただし, I皿と床 の衝突はないとする。 mg aとして o。 (m+ M+m)a=-mg+(M+m)g M a= (埼玉大) M+2m IAの加速度は鉛直上向きにaであり, 蛙の加速度は下向きの重力加速 度gだから,皿に対する蛙の相対加速度は,上向きを正として,-gーa と なる。一方,相対初速度は Vー(一) =DV+v であり, 最も離れたときの Level(1)~(3) ★★ 相対速度は0だから Point & Hint (1)問題を1次元に焼き直して考えてみるとよい(問題24 (1参照)。すると, 物体系に対して重力という外力が左右に働くことになるが,そ の合力は……。 0°-(V+v)? = 2(-g-a)h' h'は距離の最大値である。①, ②, ③より, V,v,aを代入してんを求め 「保存則」というタイトルが大きなヒントになっている。 ると(①を用いてひをVに直してから②を代入するとよい), h'=h よって,1倍 (3)運動方程式を用いて, 皿Aに対する蛙の運動(相対運動)を考える。 10。 ECHURE (1) 次元化すると次のような力学系と同等である。外力としての重力は丘 右とも(M+m)g と等しく。 合力は0となっている。よ って, 運動量保存則が成り 立つ。右向きを正とすると Q 蛙が皿Aから最も離れる時と,蛙が床に対して最高点に達する時では、 どちらが先に起こるか。計算ではなく、定性的に考察してみよ。(★★) (M+m)g Mg や蛙 (1)で蛙がとび上がるときAを押す力を N, 糸の張力をT, その際の時 間をAtとする。蛙,A, Bとおもりの一体,についてそれぞれ力積と運 動量の関係式を記し, 次に運動量保存則を導いてみよ。 (★) mg 滑らかな水平面 0=-mu+MV- (M+m)u

(3)の最高点を求める問題で、小球が高さhの点にいる時にストッパーによる非保存力が働いていると思うのですが、なぜ系全体の力学的エネルギー保存が使えるのですか？

53 17 保存則 17 保存則 曲面AB と突起Wからなる質量 Mの台が水平な床上にあり, 台の左 側は床に固定されたストッパーSに 接している。Bの近くは水平面とな っていて、そこからんだけ高い位置 にあるA点で質量 m(m<M)の小 球を静かに放した。小球は曲面を滑り降りて突起Wに弾性衝突し, 台 はSから離れ,小球は曲面を逆方向に上り始めた。 台や床の摩擦はな く、重力加速度をgとする。 A 小球 m W 台 M S B 床 X す) 000突起Wと衝突する直前の小球の速さはいくらか。 00の 小球がWと衝突した直後の, 小球と台の速さはそれぞれいくらか。 (3) 小球が曲面を上り, 最高点に達したときの台の速さはいくらか。 また、最高点の高さ(Bからの高さ)はいくらか。 次に,ストッパーSをはずして, 台が静止した状態で, 小球を A点 度 ば 置 で静かに放す。 (4) Wに衝突する直前の,小球と台の速さはそれぞれいくらか。 0OO Wとの衝突後,小球が達する最高点の高さはいくらか。 (東京電機大+日本大) Level (1) ★★ (2) ★ (3) ★ (4), (5) ★★ Point & Hint 2 弾性衝突は運動エネルギーが保存される衝突だが, 反発係数 e=1 で扱いた い。 13 最高点に達したとき、小球は台に対して一瞬止まる。水平方向には外力がない ので、ある保存則が成り立つ。後半はもう一つの保存則を用いる。 ただし、 物体 系に対して適用する。 4) 2つの保存則の成立。 5(3)と同様に考えるのが正攻法だが, . もっとスッキリと解ける。 x