解説お願いします。

43 定積分と導関数 例題 106 次の関数をxで微分せよ。 (1) S(x+t)erat

（1）の一番最初で微分する意味ってありますか？ あと、（2）の一行目でf(x)ではなく、f'(x)となっているのはなぜですか？ 回答お願いします。

162 (1) 等式f(t)dt=x-3x2+x+αを満たす関数f(x)と定 数αの値を求めよ。 (2) 関数f(x)=(t-t-2) dt の極値を求めよ。 解答 (1) 等式の両辺をxで微分すると f(x)=3x²-6x+1 また, 等式でx=α とおくと よって したがって a³-3a²+2a=0 a=0, 1, 2 (②2) f'(x)=x(12- =xS (12-1-2)dt=x-x−2=(x+1)(x-2) dx. f'(x)=0 とすると また f(x)= f(x) の増減表は右のようになる。 よって, f(x)は f(x)=1/10/12/1 - 2t 3 x=-1で極大値 x=2で極小値 10 x=-1,2 3' - 0=a³-3a²+a+a すなわち 7 6 をとる。 xC 3 22 X' X f'(x) 2x+ *** + α(a-1)(a-2)=0 オ 13 6 -1 0 極大 10 3 - オ 2 20 極小 7 6 + df²f1dt=f(x), -Sisindi=0

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本 210 求めよ。 指針▷>条件f'(x)=e*-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-x+1 x>0のときは, A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、 x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x)はx=0で微分可能 lim f(x)=lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 X-40 解答 x>0のとき, ex-1> 0 であるから f'(x)=ex-1 よって f(1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 したがって f(x)=ex-x+1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-e*+1)dx x→+0 x-0 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数) X1-0 -ex+x+D (D は積分定数) (2) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0 で連続である。 ゆえに limf(x) = lim f(x)=f(0) phix x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D よって したがって このとき, lim- lim ん→+0 場合に分けるから 絶対値 2=-1+D=f(0) ex-1 x0 x lim h-0 x→+0 x-0 f(x)=-e*+x+3 =1から ƒ(h)—ƒ(0) h ƒ(h)—ƒ(0) h =lim ん→+0 A ゆえに =lim h-0 D=3 eh-h-1=( =0, h -e" +h+1 h =0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) y₁ (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 10 (1)\= + y=ex-1 導関数f'(x) はその定義か ら, x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x f(x) は微分可能な関数。 6101 (lim (1-1) h 必要条件。 逆の確認。 p. 257 も参照。 ◄lim 1 { =(e^_-¹) + 1} -(eh-1) k-ol ors 練習 211-1<x<1とする。 f(x)=|tan-x-11, f(0)=0 であるとき, f(x)を求めよ。 1 [2] 3

四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) S (2) √√x²+1 dx 基本220 指針▷根号内が2次式の無理関数について,'-x"や、x+α" を含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが,後者の場合、計算が面倒になることか ある(次ページ参照)。そこで,x+ A(Aは定数) を含む積分には, 【CHART 解答 1 √x²+1 x+√x+4=t とおく(････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)x+1=(x/√x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 √x²+Ã ħŽU¯_x+√√x²+A=t&< (1)x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt √√x² +1+x ゆえに CHART √²+1 よって ゆえに -dx よって dx=dt すなわち 1 √x²+1 1 2+1 316407==x√x²+1=√x²+1=1 dx +x=1 .JJE √1250 >=x√x²+1 =√(√x²+1=√x²+1 (1) の結果から したがって x}dt=log|t|+C =log(x+√√x²+1)+C (2) √√x²+1 dx = S(x) √x²+1 dx=x√x² +1 -√√√₂x²+1 dx 2 -dx= ・dt t (1) S √x²+1 • S√x ² + q ² dx 5572853PY 2√√x²+1 dx=x√x³+1+√√√²+1 dx √ √x ² + 1 dx = 1/² ( x √/ x ² + 1 + √ √/ x ² + 1 x S=1/12(x+ 1 dx x2+1 練習 ⑩221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 dx =x√³x²³ +1 -√√√x ² + 1dx + S₁ 15) (T -dx √x2+1 -dx=dt 00000 (2) √√√x² + a²³ dx ◄(√x²+1) = {(x²+1)²}, =(x²+1) • (x²+1) 2x 2√x2+1 = S√x+1dx=1/{xv/x+1+10g(x+√x+1)}+C 1+1+x) x+√x²+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 x x2+1 |x+1>x=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 < x2+1=(√x2+1)^ に着目 して,分子の次数を下げる。 同形出現。 →p.363 の解答でIを求 めるのと同様の考え方。 +/yo に (1) の結果を利用。 (3) S dx SA よって

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 00000 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本210 求めよ｡ 指針▷>条件f'(x)=ex-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは,A と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし, x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x) は x=0で微分可能 lim f(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 解答 x>0のとき, ex-1>0 であるから よって f (1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-ex+1)dx ゆえに lim f(x) = lim f(x)=f(0) x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-e*+x+D)=-1+D よって したがって x→+0 f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数) =-e*+x+D (Dは積分定数 (2) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 _0-1x このとき, lim lim h→+0 x→0 x 練習 1 211 lim h--0 2=-1+D=f(0) ゆえに D=3 f(x)=-ex+x+3 -=1から ex-1 したがって f(x)=ex-x+1 ...... 1 x→+0 0-1x ƒ(h)—ƒ(0) A : lim ん→+0 ƒ(h)—ƒ(0) h eh-h-1 h =lim h-0 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 -=0, -e" +h+1 =0 h よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 [e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) ....... x+x-xm-(2) y O y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か ら,x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x JOHAJ (x)=x (S) lim ん→-ol f(x) は微分可能な関数。 lim (e^-1-1) ++0 130 1 Ade 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 =(e^-1)+1} h ors π <x<1とする。 f'(x)=|tanx-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。 3 [2] 3 J Î

至急です。 丸をつけた箇所が分からなく、困っています。 解説してくれる方、お願いします。

数とする。 次の acosnxdx dxの最小値 =+1)dx (nl 1 ぃと 表せ。 √√x F(1)=2 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 77 次の関数を微分せよ。 ただし, a,bは定数で, a>0, aキ1とする。 (1) y=e-sin 3x (2)) y ecos (4) y=log.a (⑤5) y=log.sinx (7) y=2x+1logx (9) y = {log(√x+1))2 ⑧8 次の関数をxで微分せよ。 (1) y = fusi (1) sin tdt 9 次の不定積分を求めよ。 (1) dx x(x²-1) (3) Sa dx (x-2Xx+2Xx-3) 10 次の不等式を証明せよ。 +5² dx ✓1-1/2 sin' x (2) (8) y=log (x+√√x²-a²) x-b (10) y=log. x2+6 (2) y=S" e'costdt (2) dx (4) √√x(x²+1) (3) y=2sinx (6) y=log{e*(1-x)} 3x+2 x(x + 1)² // -dx ³dx< 1/1/ g(sinx+cosx)dx< [11 △ABCにおいて, AB=2, AC=1,∠A=xとし, f(x)=BC とする。 次の問いに答え よ。 (1) f(x) をxの式として表せ。 (②2) △ABCの外接円の半径をRとするとき, f(x) を R で表せ。 (3) on f(x)の最大値を求めよ。 12 次の関数を微分せよ。 ただし, (1)~(4) では x>0 とする。 (1) y=xs ysinx (2) y=x** (3)y=xlog* (4) y=x² (5) y=(sin x) (0<x<*) (6) y = (logx)* (x>1) 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 13 次の不定積分を求めよ。 x3 (1) √√√x ² + 1 dx x2+1 nは2以上の整数とする。 次の等式が成り立つことを証明せよ。 cos"xdx= =1/{sin xcos"-' x+(n-1)| cosm-2xdx} 16 次の定積分を求めよ｡ (1) Sx4dx 15 関数 y=ersin bx について,次の問いに答えよ。ただし, a,bは定数とする。 (1) y" を求めよ。 (②2) y” を, x を用いずにy を用いて表せ。 y” ·S= 17 不定積分 e 2x e +2 1 1– sin t f(x)+ (2) Solcos2dx 18 次の2つの等式を満たす関数f(x), g(x) を求めよ。 +So (f(t)-g(t)dt=1, g(x)+Sols( (3) -dx を求めよ。 |20 F(x)= log.x xlogx-1dx (3) Solsin (3) f(1),((1) の値に注意することにより, lim- (4) f(x) を求めよ。 0 |sinx+cosx|dx (f(t)+g'(t)dt=x2+x 119 f(x) は x>0 で定義された関数で, x=1で微分可能でf'(1)=2 かつ任意のx>0,y>0 に対して f(xy)=f(x)+f(y) を満たすものとする。 (1) f(1) の値を求めよ。また,これを利用して,(1) をf(x) で表せ。 (②2) (4) f(x)とf(y) で表せ。 2b P4-8V Į m f(x+h)-f(x) h をxで表せ。 =Stf(x-1)d tf(x-t)dt であるとき, F''(x)=f(x) となることを証明せよ。 S=

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

最後の2行で「遺伝子Cを胚の全体で発現させると」と、ありますが、文の意味が分かりません。 遺伝子Aは遺伝子Cを抑制するので、どうなって遺伝子Cが発現するのでしょうか…。

GXT ある種の昆虫の受精卵では、はじめは核だけが分裂する。 分裂した核は受精卵(胚)の表 面に移動し、その後,それぞれの核の間が細胞膜で仕切られ1つ1つの細胞ができる。 そ れぞれ細胞は,受精卵の前後軸に沿って、異なる運命に決定される。その運命決定の過程 は,前後軸に沿って異なるパターンで発現する調節遺伝子が他の調節遺伝子の発現を制御 することで進んでいく。 遺伝子Xが遺伝子 Y の発現を誘導または抑制する場合、 遺伝子X は遺伝子 Yに対し上流に位置するという。また、遺伝子Xが遺伝子 Y の発現を誘導する ことをX→Y と表し, 遺伝子Xが遺伝子Y の発現を抑制することをX→Y と表すことに する。 調節遺伝子間の制御関係に関して、次の実験1~4を行った。 図は昆虫の胚を表し、 斜線部は該当する遺伝子の発現が見られる領域を表す。「無」と記した領域では該当する遺 伝子の発現が見られない。 〔実験 1] 調節遺伝子 A~Cの発現のパターンを調べたところ, 図1のa~c のようで あった。次に,遺伝子Aが欠失した変異体で遺伝子Bの発現を調べたところ、図1dの ようにまったく発現が見られなかった。 逆に, 遺伝子Bが欠失した変異体で遺伝子 A の発現を調べたところ, 野生型と同じパターンで発現していた。 〔実験2] 遺伝子Aが欠失した変異体で遺伝子Cの発現を調べたところ, 図 1eのように 胚の全体で発現していた。 逆に, 遺伝子 C が欠失した変異体で遺伝子 Aの発現を調べ たところ, 野生型と同じパターンで発現してい 〔実験3] 遺伝子Cが欠失した変異体で遺伝子 B の発現を調べたところ, 図1fのように a. 遺伝子 A の発現のパターン b. 遺伝子 B の発現のパターン c. 遺伝子 C の発現のパターン d. 遺伝子Aが欠失した変異体での 遺伝子Bの発現のパターン e. 遺伝子Aが欠失した変異体での 遺伝子の発現のパターン f. 遺伝子Cが欠失した変異体での 遺伝子Bの発現のパターン 前 無 無 無 後 無 無 図2 a. 遺伝子 D の発現のパターン b. 遺伝子の発現のパターン c. 遺伝子 F の発現のパターン d. 遺伝子Eが欠失した変異体での 遺伝子 D の発現のパターン e. 遺伝子を胚の全体で発現させた 場合の遺伝子Dの発現のパターン 前 無 無 無 無 浦 後 無 無 胚の全体で発現していた。 また, 遺伝子Cを胚の全体で発現させると遺伝子Bの発現 はまったく見られなかった。 このとき, 遺伝子Cの発現量は,遺伝子Aの発現量と同程 度であった。 問題の続き

紙に解き方解説お願いします！

2. 関数f(x)=|x+1|e-2x(x-2)について,次の問に答えよ。 【4点×4=16点】 (1) 極大値極小値があれば求め、 なければなしと答えよ。 最大値・最小値があれば求め、 なければなしと答えよ。 (2) (3) y=f(x)のグラフをかけ。 (4)kを定数とするとき、xについての方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を調べよ。