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数学 高校生

方向ベクトルって括弧の中に縦で3つ書かないといけないのですか。皆さんはどう習いましたか。

(ア)座標空間において, 2点A(1, 2, 1), B(3, 5, 2)がある.直線 AB と平面 y=8 との交点の 4空間座標/直線,平面- ] である。 座標は、 (近大·理系) 値は 口である。 (立教大) 座標とベクトル 点Pの座標(x, y, z)と, 0を始点とするベクトル が対応する.成分計算のしかたは平面と同様で,和·差·実数 B OP=| 9 P 倍は成分ごとの和·差·実数倍である。 頭(ア)は,直線 AB 上の点Pを AP=tAB(tは実数)と表し,Pが平 面=8上の点になるときのtを求める,という方針で解く.Pがy=8上 にあるとは,Pのy座標が8であることだから, OP のy成分が8である。 たお、上のtを求めるのであるから, OP=(1-t)OA+tOB(tが2か 所に出てくる)よりも OP=OA+tAB (tが1か所のみ)とおく方がよい。 同一平面上のとらえ方 「AD=sAB+tAC(s, tは実数)と書ける」ととらえられる.各辺を成分 表示して比較し, sとtを求めよう。 tAB A, B, C, Dが同一平面上にあることは, AC A ミ解答 (ア)直線 AB上の点をPとすると, 1 /3 OP=OA +t AB= 1 2|+t 5 +t|3 GAP=tAB と表すことができて, OP=OA + AP=OA+tAB と表せる。これのy成分が8のとき, 2+3t=8 よってt=2となり,このときP(5, 8, 3) である。 (イ)A, B, Cを通る平面上にDがあるとき, 実数s, tを用いて '5 全OP=|2|+2|3=|8 3 2 1 AD=sAB+tAC すなわち =s| -1|+t 0 -3 GAB= 1 2 a-3, 0 3 3 AC 2 と書ける。エ成分,y成分を比較して, Js=0 lt=-1 2 2|= 0 「-2=s+2t 0=-s 3 -2 このとき,z成分について z-3=0·(-3)+(-1)·(-2) よって, z=2+3=5 04 演習題(解答は p.47) aを定数とする. 空間内の4点A(1, 0, 3), B(0, 4, -2), C(4, -3, 0), (-7+5a, 14-8a, z)が同じ平面上にあるとき, 1)zをaを用いて表せ。 (1) AD=sAB :(2) AP=uAB いてuとaを求め ) aの値を変化させたとき, 点Dは直線 AB上の点Pおよび直線 AC上の点Qを通 Qも同じで AQ= とおく。 231

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数学 高校生

(2)でなぜ最初に|AGベクトル|を16倍するという考えが思いつくのかわかりません. それとGAベクトルって−A Gベクトルじゃないんですか?GAベクトル=AGベクトルとなっているのもよくわかりません…

位置ベクトルと内積, なす角 重要 例題59 1辺の長さがaの正四面体 ABCD において, AB=D6, AC=6, AD=à とする。 JAB. CD の中点をそれぞれ M, N とし, 線分 MN の中点をG, AGB=0と OOOO0 する。 AN, AG, BGをそれぞれ6, c, ā で表せ。 (2) GAP, GA-GB をそれぞれaを用いて表せ。 (3) cose の値を求めよ。 【類熊本大) 基本 50 指針>(1) 中点の位置ベクトルの利用。 (2) GAF=|AG=AG·AG, GA·GB=AG·BG (1)の結果を利用 して計算。 (3) GA-GB=IGAIGB|cos ® であることに注目すると IGA|=IGB| よって,OはGA·GB=|GA\ cos0となるから, (2)の結果が利用 できる。 の ここで,AABNは AN=BN の二等辺三角形 解答 A ) AN=G+d) M AG-(AM+AN)=方+に+=}Gtè+d) BG=AG-AB=-(-3ō+¢+d) 2 D B 2) 16GAF=|4AGFー(5+c+à) (5+c+d) 41=に=は=aから あ=d=a-5 =6f+にP+aP+2(あc+è-ā+ā-5) =3a°+2×3a°cos 60°=6α° 16GA-GB=4AG-4BG=(5+è+à) (-3万+&+d) =-3|万+にP+はパ-25-c-25-à+2è·d =ー-2a°cos 60°=-2α° =a°cos 60° イ分数の計算を避けるため, 4AG=6+c+d, 4BG=-35+c+à として計算。 よって 3 a° IGAF=, GA-GB=- 8 ) AM=BM, AN=BN であるから 8 イAN|=|BN|=。 2 ABIMN ゆえに

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