113. mとnが互いに素でないことを言い換えると mとnが素数を公約数にもつ となるのはなぜですか？ 例えばm=20,n=4のときm,nは互いに素でなく、 公約数は4で素数ではないですよね？

基本例題 113 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a+babは互いに素であるこ とを証明せよ。 p.476 基本事項 [②] 重要 114 指針a+b と ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。 →a+b と ab が互いに素でない,すなわち a+b と ab はある素数』を公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお,次の素数の性質も利用する。 ただし, m, nは整数である。 mnが素数」の倍数であるとき, mまたはn はかの倍数である。 CHART 互いに素であることの証明 ① 最大公約数が1を導く ② 背理法 (間接証明法) の利用 解答 a+b と ab が互いに素でない, すなわちa+b ab ある素 数』を公約数にもつと仮定すると ② (k, lは自然数) a+b=pk...・・･ ①, ab=pl と表される。 ② から, a または6の倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pm となる自然数mがある。 このとき, ①から6=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, ももかの倍数である。 これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがpの倍数であるときも、同様にしてαはpの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+b と αb は互いに素である。 mとnが互いに素でない ⇒ m nが素数を公約 数にもつ <k-mは整数。 <a=pk-b =p(k-m') ( m'は整数) [参考] 前ページの基本例題112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」 は, 整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個あることを証明せよ。 [証明] を2以上の自然数とすると+1は互いに素であるから,(n+1) は異な 」 る素因数を2個以上もつ。 同様にして, n=n(n+1)=n(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから, 素数は無限個存在する。 ※各自=2や=3などの場合で,このことを検証してみるとよい。 素数が無限個あることの証明は, ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である が、上の証明は、21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された, とても簡潔な方 法で 481 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

物理の問題です。写真の(エ)の問題で私はmgx_2=1k(x_2-L)^2/2と考えましたが、解答は写真の通りでした。私の方法では答えを出すのが困難なため3枚目の写真の通りにやるべきなのでしょうか？

183. ゴムひもによる小球の運動 次の文中の□を埋めよ。 図のように,屋根の端に質量の無視できるゴムひもで小球をつな いだ。小球を屋根の位置まで持ち上げてから,落下させたときの運 動を考える。 ゴムひもの自然の長さはL, 小球の質量はmである。 図のように鉛直方向下向きにx軸をとり, 屋根の位置を原点とする。 使用するゴムひもは, 小球の位置xが x≦L のとき, ゆるんだ状態 となり小球に力を及ぼさない。 一方,x>Lのとき, ゴムひもは伸 びて張力がはたらき, ばね定数kのばねとみなせる。小球は鉛直方向にのみ運動し,地 面への衝突はないものとする。 重力加速度の大きさをgとする。 小球を屋根の位置(x=0) から静かにはなして落下させた。x=L の位置での小球の 速さはアである。 小球にはたらく張力の大きさが重力の大きさと等しい瞬間の位 置を x1 とすると, x=イである。 x = x1 での小球の速さは,v=ウであ る。さらに小球は下降し,最下点に到達した後, 上昇した。 最下点の位置を x2 とすると, X2=エである。 また, 最初に x1 を小球が通過してから最下点を経て、再び xx にも どってくるまでに要した時間はオである。 [18 明治大] 175,176 JostiotutEn II Ahi/ t エ 1-412. I/1. 屋根 -0 x

こちらのプリントの回答教えてください。 よろしくお願いします。

4 eehaupbsorl elstog 空欄にあてはまるものを (A)~(D) の中から選んで記号を書きましょう。 rinom soon tundA (8) 1. My first of Toronto was very positive. (A) impressed (B) impressing (C)impressive (D) impression swdua vd oo visuay 1 (5) 3. 2. The special equipment was (A) originally (B) origin (C) original (D) originality 4. The manufacturer (A) produces vaboj alriemriserter prind soinom bib vilW..t A teacher's class. Sum ob incinu vertone (A) friendship (B) friendlily (C) friendly (D) friendliness Autoledad blow approach makes new students feel comfortable in their new es new students fee (B) has produced shwob trand enirkham y 5. It is necessary that the applicant 8. Would you mind (A) open made for those who have mobility problems. mismo2( bloo out a'fariT (8) Of(0) tripim men (8) TV sets in developing countries ten years ago. (D) has been produced (C) produced (A) fill (B) filled (C) fills (D) would fill 6. Tomoko invited me to see the musical with (A) she (C) (B) heraners 10. Is there anyone (A)whom blueWF Tesy jasi cio 7. The CEO by the charity foundation to speak at their annual conference, but he had to decline the request because of a scheduling conflict. (A) asked (D) had been asking (B) was asked (C) has asked 9. The meeting will be held (A) in dar out the form before the job interview. toy bollit need cen (A) admun orong olidam ym e'evgH (8) Jeneves need even ment (2) eldabil opening prupiolansi (B) whose blow reiwi at sol no (D) herself them. the window for me? vietne.m (C) to open (D) to be opening Houp (0) (B) on (C) for (D) at nismen (0) Meason (2) gribnstalue (8) 10:30 in the conference room. is against this alternative proposal? (D) which m) boysin .GP .er Deda briced OS eldialval (A) 11. Tim is as as Linda. (A) more intelligent (B) intelligent (C) less intelligent (D) better intelligent for storage. (A) designated (B) detained (C) reciprocated (D) signified 12. According to the proposal, a large block of rooms in the east wing of the new building will be

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84. 解説６行目からの、 角PRB=90°,角PMB=90°より 4点P,B,M,Rが一つの円周上にある理由がわかりません。

434 00000 基本例題 84 円に内接する四角形の利用 二等辺三角形でない △ABCの辺BCの中点を通りBCに垂直な直線と、 △ABCの外接円との交点を P, Q とする。 P, Q から ABに垂線PR, QS をそ れぞれ引くと, ARMS は直角三角形であることを示せ。 指針> ARMS をかいてみる (解答の図) と, M=90° すなわち ∠R+ ∠S=90° となりそうだが,これを直接示すことは困難。 そこで, 前ページと同様に, かくれた円を見つけ出し, 円周角の定理から等しい角を見つける 方針で進める。 特に, かくれた円をさがすには, 直角2つで四角形は円に内接する こと (右図)を利用するとよい。 CHART 四角形と円 直角2つで円くなる 解答 PQは弦 BC の垂直二等分線であるから, △ABCの外接円の直径で ∠PBQ=90° ゆえに ∠BPM + ∠ BQM=90°•••・・･ 口 ∠PRB=90° ∠PMB=90° であるから, 4点P, B, M, Rは1つの円周上にあっ て ∠BPM=∠BRM 同様に ∠BSQ=90°, ∠BMQ=90° であるから, 4点S, B, Q, Mも1つの円周上にあって ∠BQM=∠RSM B M Q A ① ② ③ から ∠BRM + ∠RSM=90° したがって, ARMSは∠M=90°の直角三角形である。 C 直径を弦とする弧の円周角 は90° 100 X 円周角の定理 基本83 ③は、円に内接する四角形 SBQM の内角と外角の関 係から。 検討 上の例題では,②,③から △PBQSARMS (2角相等) よって ∠RMS=∠PBQ=90° と進めてもよい。 なお、4個以上の点が1つの円周上にあるとき, これらは 共円であるといい。これらの点を 共円点という。上の例題では, 点P, B, M, R; 点 S, B, Q, M がそれぞれ共円点である (p.444 3 も参照)。 ∠A=60°の△ABCの頂点 B C から直線CA, ABに下ろした垂線をそれぞれ 三角形である 練習 3 84 BD, CE とし, 辺BCの中点をMとする。 このとき, ADMFは正三角 ことを示せ。

77.2 「(1)と同様に」というのは三角形ABCの全ての辺が2:1の比で分けられているから、ということでBQ:QP:PM=3:3:1と考えられるということですよね？実際に計算する訳じゃないですよね？

422 300000 メネラウスの定理と三角形の面積 基本例題 77 面積が1に等しい△ABCにおいて, 辺BC, CA, AB を 2:1に内分する点をそ れぞれL, M, N とし,線分 ALとBM, BM と CN, CN と AL の交点をそれぞ [類 創価大 れ P, Q, R とするとき (1) APPR: RL=7: (2) APQR の面積は 指針 (1) △ABLとCN にメネラウス→LR: RA △ACL と BM にメネラウス→LP: PA これらから比AP : PR: RL がわかる。 (2) BQ: QP PM も (1) と同様にして求められる。 △ABCの面積を利用して, △ABL → △PBR → △PQR と順に面積を求める。 すなわち よって また, 解答 (1) △ABLとCN について, メネラウス AN BC. LR の定理により NB CL RA ■ : 1 である。 ]である。 【CHART 三角形の面積比 等高なら底辺の比,等底なら高さの比 CUEN LR 2.3. RR=1 1 1 RA ゆえに =1 -=1 すなわち △ABL= LR:RA=1:6... ① ACLとBM について, メネラウスの定理により AM CB LP MC BL PA よって LP:PA=4:3...... ② ① ② から AP: PR: RL=3:13:1 (2) (1) と同様にして BQ: QP: PM=3:3:1 よって △PBR= AABL-12123AABC-0272300 △ABC= 3 7 △PQR= 1/1/12 △PBR= B △ABL= 2 7 P 13 LP 1P=1 2 2 PA 1 7 M 3 /R =1 C 右の図の三角形ABCにおいて, AE: EB=1:α, 練習 ③77 BD:DC=16とする。 ただし、α> 0, b>0 である。 (1) AP: PD をa, bを用いて表せ。 (2) APE: △ABCをa, bを用いて表せ。 [宮崎大] p.429 EX51 LR 1 RA 6 LP PA 3 N Q B -2- TKC 定理を用いる三角形と線分 を明示する。 1+m から B 2 AP: PR: RL =l:minとすると n 1 m+n_ 6' l=m=3n 基本76 A EXP D 指 (1 (2) 練 3

至急お願いします！ 数Bの数列の問題です。 例文のS1=... のところが、何故分子が(pn-1)-(pm+1)+1 になるのか分かりません。 ですが、問題全体の解説をしていただけると助かります 一緒に練習問題も教えてくださいm(_ _)m 早めに教えていただけると幸いです... 続きを読む

0000 重要 例題 9 既約分数の和 pは素数m,n は正の整数でm<nとする。 mとnの間にあって, pを分母と する既約分数の総和を求めよ。 基本 6,7 指針 まず,具体的な値で考えてみよう。 例えば,2と5の間にあって3を分母とする分数は 8 9 7. 7. 7. 10. 12. 13. 14. 11 3'3' 3' 3'3'3 3 であり,既約分数の和は(*)の和から, 3と4を引くことで求められる。 このように、全体の和から整数の和を除く方針 で求める。 まず,g を自然数として,<_<n を満たす 解答する。 pm<g <pnであるから g_pm+1 pm+2 よって か か これらの和を とすると S₁= ①のうち, =1+11-0 g=pm+1,pm+2,......, pn-1 (pn-1)-(pm+1)+1 2 pn-pm-1 2 = p (m+n) が整数となるものは これらの和を S2 とすると S2= _=m+1, m+2, ….…, p n-m-1 2 pm+1 Þ 2 S= pn-pm-¹ (m+n) - ² 2 pn-1 か n-1 (n-1)-(m+1)+1{(m+1)+(n-1)} 2 -1/12 (m+n)(n-m) (p-1) L (*)は等差数列であり,3と4は 2と5の間にある整数である。 + 初項川未 n-m-1 2 (m+n){(n_m)p−(n_m)} -を求め · pn-1) 0>1+nd -(m+n) ゆえに, 求める総和をSとすると, S=S-S2 であるから -(m+n) ｢mとnの間」であるか ら、 両端のmとnは含 まない。 pm+1 か の等差数列。 ① 初項 S= 2 ((-)-(1-x) Fuck Sin- 公差 1 -n(a+l) mとnの間にある整数。 ◄ S₁ ==—= n(a+l) (全体の和) (整数の和)

回答お願いします。また、どんな話なのかも教えてほしいです🙏

13 20 速読 問題 Reading 1/52 Reading €77 Grammar /16 Writing have no choice but to~ /12 "Unless you're frank here, you'll go hungry all the time." When I was invited to an 次の英文を3分15秒で読んで, 1. の問いに答えなさい。 American woman's house for Christmas, her mother said to me, "We usually don't have a regular breakfast. Will you need breakfast tomorrow?" Out of reserve, I was not able to say "Yes, I will," because (1)that would require her to prepare breakfast for me 5 alone. I had no choice but to say, "No, thank you. (2)Her mother took me at my word, and assumed that I was also in the habit of skipping breakfast. When I was back at the university after the holidays, I (3)brought up the subject with a few Americans. 4)"If you had been in my place, and had needed breakfast, what would you have said?" One person said, "Your friend's mother was being frank, so I'd 00.00% 10 have said frankly, 'If you could prepare a little breakfast, I'm sure I'd enjoy it. (5) Otherwise, I'll eat out." Another person said, "That's not so polite. I'd have asked her politely, 'If you could prepare breakfast for me, I'd appreciate it." They asked me why I had been reluctant to give a frank opinion. I explained the Japanese cultural viewpoint. In Japan, immediately accepting an 15 offer of a meal is regarded as impudent; such an invitation is supposed to be declined at least once. But the host realizes that the guest has declined out of reserve, and makes it a rule to ask a second time. A Japanese guest never insists on being served a meal. The host understands the situation and the feelings of the guest and reacts appropriately. (7) "That idea has no chance at all of working here," one American said with total frankness. She continued, "Unless you're frank here, you'll go hungry all the time." (294 words) /11 reserve [rizá:rv] , be in the habit of ~ing 〜するのが習慣になっている 15 decline [diklain] (丁重に) 断る 19 appropriately [ǝproupriǝtli] 〜するしかない 13 reluctant [rilíktant] 気が進まない 嫌がる 精

cross great distancesの和訳が全長を延ばすと書いてあるんですけどどうしてそう訳すんですか？直訳とかを教えて欲しいです

例題 11 次の文章に合う絵として最も適当なものを,下の①~④のうちから つ選べ。 This type of bridge is made up of multiple connected sections. These sections work together to help distribute the forces throughout the entire bridge, so that it can cross great distances and support a large amount of Vf V+ Vt which makes S. Vt weight. The size of the components in each section is small. C₁ this type of bridge ideal for places where long sections cannot be shipped or where large cranes and heavy equipment cannot be used during space above the construction. However, a bridge of this type encloses the √t roadway, possibly distracting drivers' attention, 3 A やや難 4

高2のスタサポの数学で応用問題で解答を読んでもわかりません、この問題の(3)と(4)が理解できてないので分かる方、教えていただけると、うれしいです🙇

座標平面上に, 円C:x^2+y-2/3x-2y= 0 がある。 3 ② (1) 円Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2)円Cの中心Aと直線l:y=√3xとの距離を求めよ。 √3x-y=0 (3) 円Cの周および内部と,不等式√3x-y≧0で表される領域の共通部分をDとする。この とき,領域Dの面積を求めよ。 (4) P(x,y) (3)の領域D内を動くとき, 3y-xの最大値と最小値を求めよ。