373
OO
重要例題245 面積の最大· 最小 (2)
っの最
aを正の実数とし,点 A(0, a+
2a
1
と曲線C:y=ax" および C上の点
236
れる。
す。
P(1, a)を考える。曲線Cとy軸,および線分 AP で囲まれる図形の面積を
S(a)とするとき, S(a)の最小値と, そのときのaの値を求めよ。
【類 九州大)
基本 31,244
7章
指針> S(a)は,区間0<x<1において, 直線 AP と曲線 Cに挟まれる部分の面積である。ます。
2点A, Pの座標から直線 AP の方程式を求める。
S(a)を求めると、 S(a) はaの分数式の関数として表されるが,「文字が正, 和に対し積が
定数」の形であることに着目し、,(相加平均)2(相乗平均) を利用する。 …
41
面
積
解答
別解 [S(a)の求め方)
Q(1, 0) とすると 曲
S(a)=(台形 OAPQ)
直線 APの方程式は
y=ax
1)+2
1
1
a+
2a
a-la+
A
2a
-x+a+
1
-Sa is o
x
ソ=
1-0
2a
D0
a
P
S(a)
11
-xta+
2a
11
すなわち
ソ=ー
·1
2a
+2
直
0
Q
x
したがって
Sla)=S.(-
+a+
2a
1
=a+
4a
a
3
1
2
1
1
at
4a
a
2
-x+la+
4a
-3
30t za
2a
10
a>0であるから,(相加平均)2(相乗平均) により
V6
2
S(a)=a
|21
2
34a
1
=2
6
<a>0, 6>0のとき
a+b22ab
等号はa=bのとき成り立
4a
3
2
11
3
等号が成り立つのは,
すなわちa'=
4a
のときである。
18
a=
3
つ。
3
V6
a>0であるから
三
a=
8
4
V6
よって,S(a)は a=
のとき最小値
4
V6
をとる。
3
参考 S(a) を微分すると, 次のようになる(数学Ⅲの範囲)。
2 1
34
V6
a
0
Sto-( リ
8a°-3
12a
2
2-
1
4
2
-at
3
a
3
4a°
S'(a)
0
S'(a)=0 の解を求め, a>0における増減表をかくと, 右のように
なって,同じ結果が得られるが, 上の解法の方が簡明であろう。
V6
S(a)
3
K
