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基本 例題 81 2 直線の交点を通る直線
2直線x+y-4=0
たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。
(1) 点 (1,2)を通る
指針
133
①①①①①
①, 2x-y+1=0 ･･････ ②の交点を通り、次の条件を満
(2) 直線x+2y+2=0 に平行
2直線①②の交点を通る直線の方程式として,次の方程式 ③ を考える。
k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数)
(1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るとして, kの値を決定する。
(2)平行条件 ab2-a2bi=0 を利用するために, ③をx,yについて整理する。
CHART 2直線f=0,g=0 の交点を通る直線kf+g=0を利用
基本80
点をもた
9基本
理が面倒
ることに
一致す
-1のと
k は定数とする。 方程式
p(x+y-4)+2x-y+1=0
解
(3)
は,2旧緑U,②の父息を通る直線
を表す。
(-1,2)
(1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るか
0-1
②
別解として, 2直線の交
点の座標を求める方法
4 x
2
き
-11/2
に分け
ぶら
50-3k-3=0
すなわち k=-1
これを③ に代入して
-(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち
x-2y+5=0
(2)③ x, yについて整理して
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
3章
1 直線の方程式、 2直線の関係
もあるが, 左の解法は今
後、重要な手法となる
(p.168 例題 106 参照)。
検討
与えられた 2直線は平
行でないことがすぐに
わかるから 確かに交
わる。 しかし 交わる
るかどうかが不明である
2 直線 f = 0, g=0 の
場合, kf+g=0 の形
から求めるには,2直
線が交わる条件も必ず
求めておかなければな
らない。
直線 ③が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は
(k+2)・2-(k-1)・1=0
これを③に代入して
すなわち x+2y-7=0
よって
k=-5
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
[参考 ③ の表す図形が, [1] 2直線 ①,②の交点を通る [2] 直線である
ことを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点(xo, yo) は, xo+yo-4 = 0,
2xo-yo+1=0 を同時に満たすから, kの値に関係なく, k(xo+yo-4)+2x-yo+1=0が成り
立ち,③は2直線 ① ② の交点を通る。
[2]③をxyについて整理すると (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
k+2=0, k-1=0 を同時に満たすkの値は存在しないから, ③は直線である。
なお, ③はんの値を変えることで, 2直線①②の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ
けは表さない。
練習 2 直線 x+5y-7=0, 2x-y-4=0の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式
981 をそれぞれ求めよ。
(1)点(-3,5)を通る (2) 直線x+4y-6=0に (ア)平行(イ) 垂直 S8
