3次曲線y=/(x) (x° の係数が a) と直線 y=g(x) が x=αで接するとき、 等式
(x)-g(x)=Da(エ-α) (xーB) が成り立つ。
本間では、ますず接線の方程式を求め、 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
形O
こ図
基本 238、240 重要247
3上下関係に注意
71
10x+2であ
6
曲線y=f(x) 上の点
(a, f(a)) における接線の
方程式は
yーf(a)=f(a)(x-a)
方程式は
ソ=ーx-3
すなわち
この接線と曲線の共有点のx座標は、
0
x
-3
x-5x°+3x+9=0*)
(x-3)(x+1)=0
これから
く左辺が(x-3)を因数にも
つことに注意して因数分解。
1 -5
ゆえに
x=3, -1
よって
3
したがって,図から,求める面積は
9|3
3 -6 -9
1
-2
-3
S=((x°-5x°+2.x+6)-(-x-3)}ax
0|3
3
3
1
1
0
ldx(oーx)(0+ous)
ーズ
の
-1
* 3
--3){(x-3)+4}dx=S_ (x-3)+4(x-3)}dx |4a-の"aー8)
= {(x-3)+4(x-3)}dx |4(x-)(x-B)
(x-3)°j3
+4
3
=(x-a}{(x-a)-(B-
(x-a)
(x-3)* j3
256
64
3 -a)dx=
三
三
3
n+1
検討
1. 解答の方程式(*)の因数分解については, 左辺が(x-3)°(x-c) … ④の形に因差
れるから,@の定数項 -9cについて, -9c=9から c=-1
よって,(*)は(x-3)°(x+1)=0と変形できる。このような方法が早い。
1
23次曲線と接線で囲まれた部分の面積では(x-a)(x-B)dx=-12(8-) (
はp.369 の国参照) が利用できる。 ⑦では
B
64
-(-1-3)=と計算で
