基礎問
102 定積分で表された関数 (I)
# 関数f(x) は等式 ["f(t)dt=x+az-3a²x+3ar2をみ
たしている。(ただし, α は正の定数とする)
このとき、次の問いに答えよ.
(1) 定数αの値を求めよ.
(2) f(x) を求めよ.
(3) f(x) の増減を調べ, 極値を求めよ.
|精講
(1) αの値を求めるには, a だけの式を作る必要があります.そこ
で, Sof(t)dt=0 を利用するために z=a を代入します.
(2) 不定積分は微分の逆の計算でしたが (99),今回は定積分
[* f(t)dt を微分するとどうなるのかを調べてみましょう。
f(t) の不定積分の1つをF(t) とおくと
J's(t)dt=[F(t)=F (1
*₂℃, (f²f(t)dt)
=(F(x)-F(a))'
=F(x)-F(a)
=F'(x)−(F(a))'=F'(x)
ここで,F'(x)=f(x) だから,
(f(t)dt)=f(x)
「'」は「微分する」
という意味
F(α) は定数だから
微分すると 0
txに変わってい
るところがポイント
解答
f₁f(t)dt = x² + ax³-3a²x² +3a³x-2
(1) ①, z=a を代入すると,
Sof(t)dt=0 だから, a+α-3a²+3a-2=0 ポイント
:: a¹=1