Question

Hi（受験生）

２番ってこんな計算過程を考えなければならないのですか？

基礎問
102 定積分で表された関数 (I)
# 関数f(x) は等式 ["f(t)dt=x+az-3a²x+3ar2をみ
たしている。(ただし, α は正の定数とする)
このとき、次の問いに答えよ.
(1) 定数αの値を求めよ.
(2) f(x) を求めよ.
(3) f(x) の増減を調べ, 極値を求めよ.
|精講
(1) αの値を求めるには, a だけの式を作る必要があります.そこ
で, Sof(t)dt=0 を利用するために z=a を代入します.
(2) 不定積分は微分の逆の計算でしたが (99),今回は定積分
[* f(t)dt を微分するとどうなるのかを調べてみましょう。
f(t) の不定積分の1つをF(t) とおくと
J's(t)dt=[F(t)=F (1
*₂℃, (f²f(t)dt)
=(F(x)-F(a))'
=F(x)-F(a)
=F'(x)−(F(a))'=F'(x)
ここで,F'(x)=f(x) だから,
(f(t)dt)=f(x)
「'」は「微分する」
という意味
F(α) は定数だから
微分すると 0
txに変わってい
るところがポイント
解答
f₁f(t)dt = x² + ax³-3a²x² +3a³x-2
(1) ①, z=a を代入すると,
Sof(t)dt=0 だから, a+α-3a²+3a-2=0 ポイント
:: a¹=1

a>0 だから, α=1
(2) ① の両辺をxで微分すると,
ƒ(x)=4x³+3ax²-6a²x+3a³
(1) より, α=1 だから,
f(x)=4x³+3x²-6x+3

=/fa fetidt = [F(+1] ₁
=
Fox) = f(a)
1
f
la fecide ) = (Foy - F(a))
=
Foy-0
= F(x)
FOy = foy sil.
x
( 1₁ fccidt ) = fay

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

きちんと書けばそういうことになりますね。(もちろん答案にはその模範解答程度のことを書けば大丈夫です)
まあ、毎回そこまで細かく考えなくても、こういう問題はよく出るので解いているうちに自然と手で覚えられると思います。
ただ、応用で例えば定積分の下端がxになったり、xの代わりにx^2なんかが入っている問題などもよく出ますから、そういう時はきちんとその式に立ち戻って考えると良いと思います。