Question

https_o0

連続質問申し訳ないです🙏🏻💦
265について分母のk+1はどこからでてきたのでしょうか？
下から八行目ぐらいから出てきたやつです。

5 a=3, (n+1)an+1=an2-1 によって定められる数列{a}の一
般項を推測して,それが正しいことを数学的帰納法によって証明
せよ。

265
指針
合 編
249
α」=3と漸化式から,a2, 3, 4,
て,一般項 αの見当をつける。
(n+1)an+1=a2-1から
a2-1
an+1=
n+1
a1=3から
32-1
42-1
a2=1+1
=4,
a3=
=5,
2+1
52-1
a4=-
=6,
3+1
を求め
よって, an=n + 2 ・・・・・・ ① と推測される。
この推測が正しいことを, 数学的帰納法によっ
て証明する。
立
[1] n=1のとき
a1=3であるから,①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つ, すなわち
と仮定する。
ak=k+2
・②
n=k+1のときを考えると,② から
a²-1 (k+2)2-1
2
62
ak+1=
==
k+1
k+1
62
273
k2+4k+3
k+1
(k+1)(k+3)
k+1
=k+3=(k+ 1) + 2
現すると
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて① は
成り立つ。
したがって an=n+2

Answer 1

ブドウくん

上から2行目の漸化式のnにkを代入しています。n=k+1のとき、と書いているからややこしいのですが、いま証明したいのはあくまでa(n)がn+2になることなので、a(k+1)を出すためにn=kを代入しています。