例題 120 只法の応用問題 9oees
(1) 2 つの齋数太、ヵの最大公約数と 3刀十47, 27十37 の最大公約数は、、。
ることを示せ。 ii
(② 7の4 と8ヵ十5 が互いに素になるような 100 以下の自然数ヵ は全部でし
つあるか。 "9
指針 最大公約数が関係した問題では, か501 基本事項還
(*) で示した、 右の定理を利用して, 数を小さくし
ていくと考えやすい。
本問のように, 束式が出てくるときは, まず, 2 つの
式の関係を opgヶの形に表す。 四
次に 式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい<
四語ーーーーーーーーーーーー ーー
2 数4, の最大公約数を (4 ) で表す。
四⑪ 3放+4 十3) ユキカ志 4差をとって考えてもよい
2寺39=(カ02 3
キカーカロ反 PP
才二2一(の寺のニル
如キカーカー
よって (3が十47。27寺87)ニ(2二8, の)
=w+a。 の3(m の
したがって なの最大公康と 34p。 2 の最
大公約数は一致する。 上 ao
ーー 7十4ヵニo
2カ十8カー カー3の一2g.
巡 との最大公約数を の とらの最大公約数を。とする。
カーのカー
①より, <と2はので割り切れるから, 9はとらの公約数 旧作
である。 ゆえに 9=e……③ D6 0
同様に。② より, eは とかの公約数で esd…… ③④ em
③, の②から 9@=ーe よって, 最大公約数は一致する。 | ②は 2
四②) 8z+5=(7z寺1オカキ1。 7p十4=(の7ー3
めえに (8z+5, 72寺)=(7が十4 カオ)=(z寺1. 3) 4<=gーのときも
7カ二4 と 8n十5 は互いに素であるとき, ヵ寺1 と3も互いに 95 しポー
和 つ。 か
素であるから,カ1 と 3 が互いに素であるようなヵの個数|し吉和て証本できる。
を求めればよい。
2ミカキ1る101 の範囲に 3 の倍数は 33 個あるから, 求める
自然数は 100一3367 (個)
