164 第2章 2次関数
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例題 92 解の存在範囲(1)
考え方 このような2次方程式の解の存在範囲を求めるときは,まず,
y=f(x)=x2-2ax+3a
ocus
解答 y=f(x)=x2-2ax+3a とおくと,
f(x)=x²-2ax+3a
とおいて考える.
2次方程式 f(x)=0 の実数解は, 2次関数 y=f(x)
のグラフとx軸との共有点のx座標である. このこ
とに着目して, 「異なる2つの実数解が, ともに2よ
り大きくなる」場合のグラフはどうなるかを考える.
2次方程式x2-2ax+3a=0の異なる2つの実数解が, ともに2より
大きくなるような定数αの値の範囲を求めよ.
(東京工科大・改)
=(x-a)^-a²+3a
より, y=f(x)のグラフは,下に凸の放物線で,
軸が直線x=α, 頂点が点 (a, -a²+3a)
となる.
f(x)=0 の異なる2つの実数解
がともに2より大きくなるのは,
m
y=f(x)のグラフが右の図のように
なるときである.
よって, 求める条件は,
(i) ( 頂点のy座標) <0
(Ⅱ) 軸が直線 x=2より右側
(iii) ƒ(2) >0
である.
(i) -a²+3a<0
as-7,1sa.
a²-3a>0
a(a-3)>0
a<0, 3<a ….…..①
(ii) a>2
(iii) f(2)=4-4a+3a>0
り
a<4
よって, ①〜③ より
3<a<4
0
(2,f(2))
|x=2|x=a
2
a
(1)
2 3
(3)
4
D30
x
di D20
(2, ƒ(2))
1|x=2|x=a
***
2
a
y=f(x) を平方完成
する.
+++b
x
頂点, 軸, f(2) の値
に着目する.
(i)は, 判別式 D>
より
D =(-a)²-3a
=a²-3a>0
としてもよい。
a
DE POUS
数直線上で共通部
を確かめる.
