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頭角
うに
|練習
③ 100
172
について,次の問いに答えよ。
4sinx+3cosx+1
関数y=
7sin x+12sin2x+11
(①) f=4sinx +3cosx とおくとき,のとりうる値の範囲を求めよ。
1で表せ。
〔類 日本女子大]
(2) yの最大値と最小値を求めよ。
SI
解答
100 関数の最大・最小 (3) ・・・おき換え利用
10 Hyper
指針 (1) 三角関数の合成を利用。 また, t = (4sinx+3cosx) を考えると,
の式が現れる。
(2) (1) の結果を利用して,yをtの分数関数で表す (簡単な式に直して扱う)。
yをtで微分。 また,そのとりうる値の範囲に注意 して最大値と最小値を求める。
DAMNED
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
(1) t=√42+3°sin(x+α)=5sin(x+α)
ただし
よって
-1≦sin (x+α)≦1であるから
また
t2=(4sinx +3cosx) 2
=16sin x+24sinx cosx+9cos2 x
|=7sin'x+12sin2x+9
sino=2/31, cosar=1/30
5
y
y=
0
極小
1-3
4
1+√/3>-4 1-√3
4
27
(4sinx+3cosx)+1
(7sin²x+12sin2x+9)+2
1.(t2+2)-(t+1)・2t t2+2t-2
(2+2) 2
(²+2)²
(2) y'=-
y'=0 とすると
t2+2t-2=0
これを解くと
t=-1±√3
5≦t≦5 におけるyの増減表は次のようになる。
to -5 |-1-√3 -1+√3
Vº
27'
t=-1+√3 で最大値
-5≤t≤5
<
==
1+√3
4
+
=
0
|極大
1+√3
4
t+1
t²+2
1
7
LO
5
であるから,yは
0<x< を満たす実数xに対して, t=tanx とおく。
6
(1) tan 3x をtで表せ。
(2)xが0<x<1の範囲を動くとき, tan³x
YA
の量は
3-
0
また、
大量う
yの式の
LYO
5
a
4
<(") = ²
13
H
4
t2=9(sin'x+cos'x)
+7sin²x+12•2 sinxcosz
t=-1-√3で最小値1-√3
u'v-uv
02
+√3
y=
672√3
±1
2(√3+1)
E
t=-1±√3のとき
_ ± (√3 ±1)
2(3-1)
=1± √3
4
10
関数 y=ex{2x2
定数の値を求
基本
X
4 5130
例題
をとる。
指針
(複号同順)
解答
最大値
ここで
端点に
なお
CH
y'=
[1
