3 定義、公式の証明
1) 関数f(x)のx=αにおける微分係数の定義を述べよ。 (0) ェ
x (2) 関数f(x), g(x) が微分可能であるとする。 積の微分公式
{f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g' (z) を証明せよ.
0800-1-
(宮崎大〉
A(3) f(x)=x" (n=1, 2, 3, ...) に対し,f'(x)=nz"-1であることを,数学的帰納法により
示せ.
定義をしっかり押さえておく
意
(上智大理工)
「連続」「微分可能」の定義をしっかり押さえておこう(p.34)
連続とはグラフがつながっている, 微分可能とはグラフがなめらか,というグラフのイメージをきち
んと定式化したものである.なお, x=αで微分可能であれば, x=αで連続である.これは,
lim{f(a+h)-f(a)}=lim·n=f' (a).0=0
f(a+h)-f(a)
.. limf (a+h)=f(a)
h→0
h→0
h→0
と示すことができる. 逆は成り立たない (反例は,f(x)=|x-al).
公式を証明できるようにしておく 教科書に載っている公式を証明せよ,という意表をついた出題
もある. 定義から微分の公式を証明させる問題が多いので, 教科書で確認しておこう. (
ので注意
解答
300 (1.1)\
(1) 極限値lim-
h→0
f(a+h)-f(a)
h
x=αにおける微分係数といい、f'(α) と書く.
(2) f (x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
=f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)
=f(x+h){g (z+h)-g(x)}+{f(x+h)-f(x)}g(x)
XN
が存在するとき,この値を関数 f(x) のこの極限値が存在するとき、 関
f(x)はx=αで微分可能である
という.
-
・①
①=f(エ
.. -=f(x+h)-
h
g(x+h)-g(x)
h
+
f(x+h)-f(x)
h
-g(x)
h→0 として,{f(x)g(x)}=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)ol
(虹)
上式も公式と同じようにすぐ!
●えるようにしよう
(3)(xx)'=nrn-1
.....
・・・・Aであることを粉学的県紬法)に
