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基本例
例題 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
>?? 向かう。このとき、途中で地点Pを通る確率を求めよ。
00000
P
北4
ただし,各交差点で,東に行くか、北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率でその方向に行くも
A
重
右図
出た
出別た
基本 52 重要 55
れ
のとする。
指針
求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
5C2X2C2
から, 7C3
とするのは誤り!
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率
が異なる。
例えば,A111→→P→→Bの確率は
C D P
B
1
1 1
222
-.1.1.1.1=-
1
8
A→1→↑↑P→Bの確率は
2 2 2 2
1.1.1.1.1.1.1-32
A
したがって, P を通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
どの地点で初めて一番上の道路にぶつかるか
右の図のように, 地点 C, D, C', D', P' をとる。
C
D
P
B
解答
P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
C'
D'
P'
確率がに
[1] 道順 ACC
P
変わるタイミング
(C.P.P)
この確率は1/2×12×1/2×1×1=(1/2)=1/23
[2] 道順 A→D'DD→P
この確率は
C.(1/1)(1/2)x1/2×1=3(1/2)-16
[3] 道順 AP′'→P
A
6
この確率は
× =61
2
32
1
3
6 16
1
よって, 求める確率は
+
+
=
8
16 32
32
2
18
[1] 111→→ と進む。
[2] ○○○↑と進む。
○には,1個と2個が
入る。
[3] ○○○○↑と進む。
○には, 2個と 12個が
入る。
練習 右の図のような格子状の道がある。 スタートの場所か
③ 54 ら出発し,コインを投げて,表が出たら右へ1区画進
み裏が出たら上へ1区画進むとする。 ただし, 右の
端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かな
いものとする。
スタート
(1)7回コインを投げたときに, Aを通りゴール
ゴール
A
