Question

むにゅたん

(3)の解説の赤線部分の意味がわかりません。こうなる理由を教えてください🙇‍♀️

35 次の定積分を求めよ。
(1) S³, 1x - 2dx
(2) √ √ x² - 4x+3|dx
(3)
x²-11dx

(3)|x2-1|=|(x+1)(x-1)|
-2≦x≦-1の
-1≦x≦1のとき
|x2-1|=x2-1
|x2-1|=(x2-1)
|x2−1|=x2-1
1≤x≤3 の
よってSlx-1dx=S_^2(x-1)dx+S_{-(2-1)}dx+S,(x2-1)dx
=
[
3
・1
.3
X
x
x3
13
28
-x
・2
-
x
+
-x
=
3
3
3
3
(2)
3
(3)
y
1
2
3
x
2_10
3
x

Answer 1

Yoshimarukun

f(-x)=f(x)を満たす関数を偶関数と言います。
これはx=0(y軸)に関して対称ということです。

例としてはy=(xの偶数乗)の多項式、y=cosx、y=|x|、(理系:カテナリーy=(e^x+e^(-x))/2)などが有名です。

これらの共通点として積分区間が-α≦x≦αのとき、すなわち区間の中点がちょうどx=0であるとき、その結果は積分区間を0≦x≦αにした定積分の2倍になるというものがあります。

y軸に関して対象なので当然ですね。
-a≦x≦0と0≦x≦aの定積分が同じになりますから。

ついでに奇関数も覚えておいたほうがいいです。
奇関数はf(-x)=-f(x)を満たすものを言います。

代表例はy=(xの奇数乗)の多項式、y=sinxなどです。
こちらはx=0が中点となるような定積分を取ると相殺して0になります。

また、関数の積に関して

(偶関数)×(偶関数)=(偶関数)
(偶関数)×(奇関数)=(奇関数)
(奇関数)×(奇関数)=(偶関数)

で、掛け算になってはいますが、偶奇の結果は偶奇の和をとったときの結果と同じ(指数計算と似てますね)になりますので覚えておいてください。

また、ここから先は必要であれば後から分かればいいですが、
x=aに関して対象なものはf(2a-x)=f(x)を満たします。

よってこの場合は積分区間がa-p≦x≦a+pの定積分はa≦x≦a+pの定積分の2倍となります。

あなたが目にしているのはa=0という特別なときで、よく出題される重要な例です。

Answer 2

🍇こつぶ🐡

画像参照