C2.44 点の存在範囲(2)
複素数α βは |α-1|=1, |β-il = 1 を満たす。
(1) α +β が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
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(2) (α-1)(β-1) が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 (一橋大 )
考え方 α-1=cosp+isinp, β-i=cosq+ising とおける.
「解答
aa+3=z として (a-1)+(β-i)=z-1-i から点 z の存在範囲を考える。
(2)α-1)(β-1)=(cosp+isinp) (β-1) は、点β-1を原点のまわりにかだけ回転し
た点である。
(1) α+β=z とおくと, (a-1)+(β-i)=α+β-1-iより,
_z-1-i=(-1)+(β-i) ...... ①
ここで, |α-1|=1 より α-1=cosp+isinp (0
(0≤p<2л),
z-1-i =
|β-il=1より、β-i=cosq+ising (0≦g<2z) とおける.よって,①は,
cosp+isinp)+(cosq+ising)
=
(cosp+cosg)+i(sinp+ sing)
p-q
~/
を含む)
=2 cos
p+q
COS
カラ+2isinP+q
2
COS
かおけるにを対
=2 cos(cos ++isin+9)
2
p+g
2
2
して自の
つまり|z-1-il=2cosP29|cos P+9+isinP+9|
②
と
2
(10
ここで|cos ++isin +9=1で
2
IS YA
0≤p<2л. 0≤q<2л £ ŋ -π<<
2
24sts 35
であるから, on cos
p-9
≦1
2
したがって, ②より,
よって, a+β (=z) の存在範囲は,点1+iを
中心とする半径2の円の内部および周上であり,
右の図の斜線部分 (境界線を含む)
|z-1-i≤2
1
+3
半径1の円周上を動く.
x
