○で囲んだところって一緒の値ですよね？ 途中式がわからないので教えてください

132 基本 例題 75 第n次導関数を求める (1) × nを自然数とする。 0000 (1)y=sin2x のとき,y(m)=2"sin(2x+ nл 2 であることを証明せよ。 (2) y=x”の第n 次導関数を求めよ。 指針(7) は, yの第n次導関数のことである。 そして、 自然数nについての 注意 数学的帰納法による証明の要領 ( 数学 B ) から、 (2)では, n=1,2,3の場合を調べてy(n) を推測し, 自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。 数学的帰納法で証明する。 /p.129 基本事項 重要 76, p.135 参考料 重要 例題 76 第 関数f(x)= 1 √1-x についての問題であ (1-x2) f(n+1 が成り立つことを言 自然数nに [1] n=1のとき成り立つことを示す。 指針 解答 [2]n=kのとき成り立つと仮定し、n=k+1のときも成り立つことを示す。 (1)y(n=2"sin(2x+ nл ① とする。 2 ることはで [1] n=1のとき y=2cos2x=2sin (2x+2) であるから,①は成り立つ (2001-11 [2]n=kのとき,①が成り立つと仮定するとy(R)=2ksin (2x+ n=k+1のときを考えると,② の両辺をxで微分して kл 2 n=k+1の これをn= n=kのと CHART 証明したい f( f" d -y(k)=2k+1 COS (2x+ kл dx 2 ゆえに yas 2* sin(2x++)=2+1sin(2x+(k+1)x y(k+1)2+1 よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2) n=1,2,3のとき,順に y=x'=1, y"=(x2)"=(2x)'=2.1,y=(x)"=3(x2)"=3・2・1 したがって,y(n)=n! ① と推測できる。 [1] n=1のとき y'=1! であるから, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると [1] よ [2] 72 (1 ykk! すなわち dk dxkxk=k! nk+1のときを考えると, y=xk+1で, (x+1)=(k+1)x であるから d dk (k+1). = dk dxkdx =(k+1)- 'dxkx=(k+1)k!=(k+1)! {(k+1)x} dxk よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。 73 [1] [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立ち y()=n! ③ 75 (1) y=logx 練習 n を自然数とする。 次の関数の第n 次導関数を求めよ。 (2) y=cosx n [1

この問題でマーカーのところがどうしてそうやって解いてるのか分からないので教えて欲しいです！！！

14-9 2が無理数であることを用いて、以下の問いに答えよ。 ( x,yを有理数とするとき、 x+y√2=0x=y=0を証明せよ。 本基 (2) 等式(1+√2)s+(3-√2)t=2s+(t-1)√2 をみたすような有理数s, tを求めよ。

フォーカスゴールドのⅡBCの方の例題15番の（2）番の3~4行目の解説が分かりません。教えてください

Step U ** 例題 15 二項係数の関係式(2)) nを正の整数として, 次の等式を証明せよ。 (1) C'C'+"C22+ "C32+......+C2=2C (2) 2≦n,r=1,2, .....*, n-1のとき, nCr=n-1Cr+n-C ** え方 (1) (1+x)=(1+x)".(x+1)” であるから (1+x) 2” の展開式における (1+x)" ×(x+1)” の展開式における x” の係数は一致する。」 答 (2) (1+x)*= (1+x) (1+x)"-1であり, 両辺のの係数は一致する. の (1) 二項定理 (a+b)" = "Coa"+"Cia" 'b+nCza"-262+......+.Cabにおい a=1 b=x とおくと、 (1+x)"="Co+nix+2x2+....+mCmx" a=x, b=1 とおくと、 (x+1)"="Cox"+"Cix”-1+nCzx"-2+......+mCm (1 + x)^*= (1+x)" (x+1)" が成り立ち 2n (1+x)2" の展開式における x”の係数は 27 Ch また. (1+x)". (x+1)* かけるとかになる +nCx") ……... ① 4.23 =(nCo+mCix+nCzx2 xnCox"+mix+2x2++mCm) の展開式における x” の係数は, CoxCo+CXC₁ + C₂ X C₂ + + n Cn × n C n =,C2+,Ci2+,C22+C3'++,C2 ...... ② ① ② は一致するから, C'+C'+,C2+,C32++,C2=2C (2) (1+x)"=(1+x) (1+x)"-1 である. (t)=(1+x)(-Co+n-C₁x +n-1C2x² + ..+n-1Cx-1x-1) ....n-1より の展開式におけるxの係数は、2≦n.r=1.2. ....... Cr+1C-1 である。 これは,左辺 (1+x)" の展開式におけるxの係数, C, と一致する。 よって, 2n, r=1,2, ・1のとき Cr=n-Cr+n-Cr-1 *** 2 P.24

数学的帰納法の問題です。n＝1とおいてa1を出すところまでは出来たのですが、n＝kの時ではなくn＜＝kの時を考えるところが説明を読んでもよくわからないので解説お願いします。

数列{an} (ただしα > 0) について, 関係式 (a1+a2+....+an)=a+a2+......+an が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。 3 指針 自然数nの問題であるから,数学的帰納法で証明する。 「n=kのときan=nが成り立つ」と仮定した場合, ak-1=k-1, ak-2=k-2, が 成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 人が 作れなくなってしまう。 (1+2+......+k+ax+1)=1+2++k+αk+13 A したがって,n≦kの仮定が必要となる。 そこで,次の [1] [2] を示す数学的帰納法 を利用する。 下の検討も参照。 [1] n=1のとき成り立つ。 [2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。 CHART 数学的帰納法 n≦kで成立を仮定する場合あり [1] n=1のとき,関係式から a2=0.3 解答 よって a2(a1-1)=0 α > 0から ゆえに, n=1のとき a =nは成り立つ。 <n=1のときの証明。 a=1 [2]n≦kのとき an=nが成り立つと仮定する。 n=k+1のときについて, 関係式から 3 {(1+2+......+k)+αk+1}=1+2°+....+k+ak+1 ... ① (①の左辺) = (1+2+... +k)+2(1+2+... +k) ak+1+ak+12 ² ={/12k(k+1) +2.1/2k(k+1)ax+x+ax+2 =13+23+......++k (k+1)ak+1+ak+12 ①の右辺と比較して ゆえに k(k+1)ak+1+ak+12=ak+13 ak+1 (ak+1+k){ak+1-(k+1)}=0 ak+1>0であるから ak+1=k+1 n≦kの仮定。 <n=k+1のときの 証明。 <a=1, a2=2, ak=k {ak+12-ak+1 -k(k+1)} =0 よって, n=k+1のときにも an=nは成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nに対して α = n は成り立つ。 9

展開の基本法則の証明について。黄色いマーカーのところはどうやって思いついたのですか。なぜこの3つに分けて考えるのか分かりません

*3 配法則 数学的帰納法を使ってどのように 「展開の基本法則」 が証明されるのか、簡単にその方 針だけ述べてみます. 実は, 教科書に載っているシンプルな数学的帰納法ではなく「二重 「帰納法」 とときに呼ばれる論法になるのですが…･････ 「Aが項, Bが項からなる多項 式であるときには展開の基本法則が成立する」 という, 自然数 m, n に関する条件を P(m, n) と表記することにして (1) P(1, 1) は真であることを示す. (2)P(m,n) が真であるならばP(m+1, n) は真であることを示す. (3) P(m, n) が真であるならばP(m, n+1) は真であることを示す. の3点を実行すればよいのです. 一つ目はまったく明らか。二つ目ではAの第1項第 2項をひとかたまりと思えば仮定 P(m, n) が適用できるのでうまく行きます。 三つ目では Bの第1項と第2項をひとかたまりと思います。 (F P) (d

７行目よってx＞0のときy＞0からわからないんですけどなんでこれ最小値を最小値＞0の形で表すんですか？😭最大値でもいいかなって思ったんですけど最小値示したら証明できるんですか？？これは知識的な問題ですかね？😭

317 317 例題 84 不等式の証明(微分利用) x≧0 のとき,不等式 x+5>3x2 が成り立つことを証明せよ。 CHART & GUIDE 不等式f(x)>g(x)の証明 [f(x)-g(x)の最小値]>0 を示す 000 1 y=(左辺) (右辺) とする。 の値の変化を調べる。 A>B⇔ A-B>0 ***** 増減表の利用。xの値の範囲がカギ。 2 3 x≧0における♪の最小値を求め, (最小値) > 0 を示す。 解答 y=(x+5)-3x2 とすると y'=0 とすると x=0, 2 y'=3x²-6x=3x(x-2) x≧0 におけるyの増減表は、次のようになる。 ゆえに, x0 において, yは x=2で最小値1 XC をとる。 y' よって, x≧0 のとき y>0 y したがって (x+5)-3x2>0 すなわち x+5>3x2 0 LO 5 - 7 2 0 + 極小 y=x3+5-3x2(x≧0) グラフ YA 5 の 1 最小値>

問6教えてください！

B 1921年にレーウィが行った実験を参考にして、実験を行った。 実験 1 2匹のカエルから心臓を取り出し, それぞれ心臓a, 心臓bとした。 心 臓 a は, 心臓に連絡している副交感神経の繊維とともに取り出したが, 心臓b は、心臓に連絡している神経を除去したうえで取り出した。 それぞれの心臓を 別々のシャーレに満たしたリンガー液 (カエルの体液に近い組成をもった生理 的塩類溶液)に入れると、2つの心臓は同様な一定のリズムで拍動を繰り返し た(図1)。 この状態で,心臓aに連絡している副交感神経の繊維に電気刺激を 加えると, 心臓aの拍動が エされることを確認した。 その後に, 心臓a を浸してあったリンガー液(リンガー液aとする) を一定量とり 心臓bを浸し された。 てあるシャーレに加えた。 すると心臓bの拍動がオ 問6 実験の結果から、リンガー液a に含まれていた何らかの化学物質が心 bに影響を与えたと考えられる。 しかし, 実験終了後, 心臓bをよく観 察したところ, 除去したと思われていた副交感神経が、 完全には除去されて いなかったことが確認された。 このままでは、リンガー液aに含まれていた 化学物質が心臓bにつながる副交感神経に影響を与えた可能性を否定でき ない。 この可能性を否定するために別の心臓cを連絡している副交感神経 この繊維とともに取り出し、 図2のような実験装置を用いて実験を行った。 こ の実験の内容とその結果に関する記述として最も適当なものを,下の①~⑤ のうちから一つ選べ。 副交感神経 副交感神経 問5 上の文章中の I 心臓 a 図 1 心臓b に入る語の組合せとして最も適当なもの を次の①~④のうちから一つ選べ。 10 H オ 促進 促進 ② 促進 抑制 ③ 抑制 抑制 ④ 抑制 促進 -178- 心臓 リンガー 容器 容器 図 2 ① 副交感神経のeの部分に電気刺激を加えると同時に容器cにリンガー液 a を加え, 心臓cの拍動が変化することを確かめる。 ② 副交感神経のeの部分に電気刺激を加えると同時に容器dにリンガー 液aを加え, 心臓の拍動が変化しないことを確かめる。 ③副交感神経のeの部分に電気刺激を加えると同時に心臓cにも直接電気 刺激を加え,心臓cの拍動が変化することを確かめる。 ④ 心臓 cや副交感神経に電気刺激を加えず, 容器 cにリンガー液 a を加え て心臓の拍動が変化することを確かめる。 ⑤ 心臓 c や副交感神経に電気刺激を加えず、容器dにリンガー液aを加 えて心臓の拍動が変化しないことを確かめる。 -179-

三角関数の合成の公式の導出について。 画像2枚目下から2行目について。sを符号付きの面積として理解していると大丈夫ってなぜですか。

【面積を 一般に,座標平面上に3点O(0, 0), A (a1, a2),B(b1, b2) があるとき, △OAB の面積は lab2-abilとなります。証明の方法はいろいろあります。 られていないかもしれません. 実はこれは次のように, はっきり定まっています : ところで、この公式で, 絶対値記号の中の正負については,あまり高校生には語 半直線 OA 0を中心として回転させて半直線 OB に重ね合わせるとき, その回 転角が 0° と 180°の間にあるときはab2-abı 0, 180°と360°の間にあるときは ab2-abı<0 です.なお,回転角が0° か 180°のときはa1b2-azbi=0 で,これは 3点0,A, B が一直線上にあり, OABが形成されない (一直線上につぶれてい て面積は0と考えられる) 場合に相当しています. B y B (b1, b2) 0°<ç<180°のとき, a1b2-a2b1>0 A(a1, a2) x Y↑ 180° <p <360° のとき, a1b2-a2b1<0 7 A(a1, a2) X HE B(b1, b2) ということは,3点 0, A, B に対して, ab2-abı という値*4には, 半直線 OA を半直線 OB に重ね合わせるのに必要な回転角を”として 0°<<180°のときは...12(4b2-a2b)は△OABの面積そのものを表す 1 180°p<360°のときは... (a,baby)は△OABの面積の1 倍を表す という意味があるのです. そこで, 1/2 (ab2-a2b)のことを,△OAB の符号つき面積といいます。 1/2 (a, b2-a2bi) は、その絶対値が常に △OAB の面積に等しく,0°<g<180°であれ

加法定理の証明について cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+cosasinb の証明ですが、画像2枚目の1行目の座標はどうやって出したのでしょうか。

<証明 2> まず, (1) のうち(ウ), (ア)を証明する. 図のように座標平面上に2点0(0,0), A(cosa, sin α)をとり,Aからx軸, y軸へ下ろした 垂線の足をH,K とする. H(cos α, 0),K (0, sinα) である. 3点 A, H, K を, 0 を中心に角βだけ回転さ せて得られる点を, A', H', K' とする. H' A(cosa, sin a) (05T-2) C-1 a T H (cosol, OA′=OA=1 であり,かつ,軸正の部分を0を中 心にれるだけ回転させると半直線OAと重なる. よって, A' の座標は A' 1 B Cas 21 (cos(a+β), sin(a+β)) K' である. 一方, OH'=OH= |cos α| であることから, H' の座標は

（2）で、なんでマーカーのとこの数を使うんですか？また、6k+5はないんですか？6k-2などもないのでしょうか？

2 次の問いに答えよ。 ((1)(2) 各10点 (3) 30点) (1) 5以上の素数を小さい方から順に10個あげよ。 MAISTIN (2) (1) であげた素数から予想できることについて、下の文章の□にあてはまる自然数のうち、最大のも 5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 のを求めよ。 ただし, □には同じ自然数が入るものとする。 5以上の素数は,の倍数から1引いた数か, の倍数に1足した数である。 90AA 8 A 最 1 (2) の予想が正しいことを証明せよ。 5以上の自然数はkを自然数として 6k-1,6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4 6kは6の倍数だからろがう このとき 6k+2=2(3k+1)は2の倍数だから子がう bk+3 2 3(水)は3 6kt4=2(3kt)は2 よって5以上の数は6k-1 6k+1の形 まって5以上の素数は6の倍数から1 引いた数か、6の倍数に1足した数である。