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重要例題29 不等式を満たす点の存在範囲(3)
OOOO0
るを0でない複素数とする。zが不等式2<z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
16
ハ10を満たすとき, 点zが存
重要5
指針S2Sz+
16
-SWと不等式で表されているから,z+
16
は実数である。
そこで,まず
が実数→ ●==● を適用して導かれる条件式に注目。
なお,z+
の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。
別解
る
1章
解答
別解 =r(cos0+isin0)
(r>0, 0S0<2元) とすると
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は実数であるから
16
=z+
16
ス+
る
16
16
16
ス+
よって z+
=z+
る
ゆえに ピ+16z=z|z}+16z
る
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Icos 0
r
(2ーz)|2パ-16(z-)=0
(2-2)(12パ-16)=0
(2-2) (2|+4) (lz-4)30
または ||=4
[1] 2=z のとき, zは実数である。
よって
+-)ine
16
Jsin0
ゆえに
よって
したがって
16
マ+
る
は実数であるから
z|>0から,
ス=ス
|2|=-4は不適。
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-=0 または sin0=0
アー-
r
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2<z+
すなわち r=4または0=0
または0=π
[1] r=4のとき
が成り立つための条件は z>0であり, このとき
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ミー+
=8
る
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(相加平均)2(相乗平均)により
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ス+
=8cos0
(等号はz=4のとき成り立つ。)
る
すなわち,2<z+
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は常に成り立つ。
よって,2S8cos 0<10 と
-1Scos0<1から
ハ cos0S1
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ス>0のとき, z+
ハ10を解くと, z2+16<10zから
[2] 0=0 のとき
(z-2)(z-8)<0
|2|=4 のとき,点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
2SzS8
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=r+
r
16
ス+
ある。2z=4° であるから
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=ス
よって, 2<r+
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A10か
r
2
4複素数と図形
