Question

なこ

書き込みで見づらくて申し訳ありません。
(2)での変形がなかなか思いつかないのですが、コツなどあれば教えて頂きたいです。
自分で思ったのはcos^n-2x を登場させるためにcos^n-1xを部分積分の微分側にして、結果としてsin^m+2xが出てきてしまうけれど、sin^mxにして上手くいかせているのかなと思いました…

重要 例題237定積分と漸化式 (2)
OOOO0
nを0以上の整数として, Im.n=\ sin"xcos"xdxとする。
m。
0
|次の等式を証明せよ。ただし, sin°x=cos°x=1 である。
(1) Im.n=In,m
(2) Im.n-
n-1
夜-4(n22)
m+n
p.390 基本事項 2, 重要218,236
針>(1) sin
ーx=COSx, COs
2
cos(ー
-x)=sinx [sinと cos が入れ替わる] に注目し,
x=-tとおき換えて計算し,後で変数さをxに直す。
(2) sin"xcos"x=(sin"xcos.x)cos-1x として 部分積分法 を用いる。
更に、sin"+2xcos"-2x=sin"xcos"-?x-
Isin"xcos"x から 同形出現。
ガー2
解答
0 x=ー
--tとおくと
dx=-dt
元
xとtの対応は右のようになる。
2
x
元
よって
Im= sin"xcos"xdx
t
0
2
0
cos"(-):(-1)dt=\} sin":xcos":xdx==/.m
2) n22のとき
Ssin*
4ぎは確使
からやる
x cos"x dx=\(sin"xcosx)cos"
sinm+1x
COS
) os xde
ー1xdx=
、-1xdx
m+1
(sin"+1xcos"ー!x
Ssinm
*(n-1)cos"-2x(-sinx)dx
#ー
m+1
sin+1
x COS
m+1
-1文
カ-1
群+2
m+と
xCos da
の
また Ssin*xcos""xdx=Ssin"xcos"-?a{-coss
-Jsin"s
x dx=
加+2
一2
XCOS
-cos"x)
-Jein"xcosx dx-\sin"xcos"xdx
の
の, のから (sin"xcos"xdx= Sinm*!xcos"-!x
Ssin"
n-1
m+n
x cos"x dx=
sin"xcos"-? xdx
m+n
「sin"+1xcos"-1
slx1f+ カS sin"xcos"="xdx
ゆえに
sin"x cos"xdx=
n-1(
m+n
Jo
n-1Imn-2
したがって
Im=
m+n