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数学 高校生

(2)で、 排反と独立の違いがよくわかりません。 横の「検討」を読んでもいまいちなので教えてください。

袋Aには赤玉3個と青玉2個, 袋Bには赤玉7個と青玉3個が入っている。 基礎 ある確率を求めよ。 ((2) 袋Aに白玉1個を加える。 袋Aから玉を1個取り出し, 色を確認した後, (1) 袋Aから 1個, 袋Bから2個の玉を取り出すとき, 玉の色がすべて同じで もとに戻す。これを3回繰り返すとき, すべての色の玉が出る確率を求めよ。 基本47 解答 指針 (1) 袋 A, B からそれぞれ玉を取り出す試行は 独立である。 玉の色がすべて同じとなる場合は、次の2つの排反事象に分かれる。 [1] A から赤1個, B から赤2個 [2] A から青1個, Bから青2個 それぞれの確率を求め,加える(確率の加法定理)。 (2) 取り出した玉を毎回袋の中に戻す(復元抽出)から,3回の試行は独立である。 赤,青,白の出方(順序)に注目して、排反事象に分ける。 排反, 独立 排反なら 確率を加える 独立なら 確率を掛ける Ja (1) 袋Aから玉を取り出す試行と, 袋Bから玉を取り出 す試行は独立である。 [1] 袋A から赤玉1個, 袋Bから赤玉2個を取り出す 3. 7C₂3 21 21 5 10C2 -x. = X 5 45 75 [2] 袋 A から青玉1個, 袋B から青玉2個を取り出す G 場合,その確率は10C2 [1], [2] は互いに排反であるから, 求める確率は 28 23 求める確率は21 + 75 75 75 (2) 3回の試行は独立である。 1個玉を取り出すとき、赤 B... 場合, その確率は **FORD 2 3C2122 3 2 5 45 75 X = 321. 666 = . (*) X 3P3 HP WAND 検討 3 2 1 玉,青玉,白玉が出る確率は, それぞれ 6'6'6 3回玉を取り出すとき, 赤玉、青玉、白玉が1個ずつ出る (*) 排反事象は全部で 出方は 3P3通りあり、各場合は互いに排反である。 ARSDOK 3P 3個あり, 各事象の確 率はすべて同じ 1 よって, 求める確率は 6X² = 「排反」と 「独立」 の区別 に注意。 事象A, B は 排反 ⇔A, B は同時に起こ らない(A∩B=Ø)。 試行 S, T は 独立 STは互いの結果に 影響を及ぼさない。 「排反」は事象(イベント の結果) に対しての概念 であり,「独立」は試行 (イベント自体)に対し ての概念である。 NHULT 321 666 2

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数学 高校生

合成関数についてです。 (2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x) なのですが 何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです。 合成関数を解く時右上の図をイメージしなければ ならないのでしょうか? (右上の図なくても解けるような気がするので... 続きを読む

Check 例題128 合成関数 O (1) f(x)=3x+1,g(x)=2x²-2,h(x)=xのとき,次の合成関数 を求めよ. (ア) (fog) (x) (イ) ((fog) oh) (x) (2) 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hf) (x)=g(x) となる 関数ん(x) を求めよ. 考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう. (1)(イ)((f°g)。h)(x) は, f°g=F と考えると, (Foh)(x)=F(h(x)) となる. (2) y=f(x) とおいて, y を上手く利用する. つまり, (f)(x)=h(f(x))=h(y) となる. (または、右のように f(x) の逆関数 f''(x) A を用いて考えてもよい) 解答 (1)()(fog) (x)=f(g(x))=f(2x2-2) =3(2x²-2)+1=6x²-5 Focus (イ) ((f・g)。h)(x)=(f-g) (h(x)) 2 = = (ƒ • 9) (²₁) = 6(+²1)-5=(x-1)²-5 24 =(f.g) 2 2 (2) y=f(x) とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y) したがって (hof) (x)=g(x) より, 1 h(y)=g(x)=3x-4 また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2 これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10 よって, (別解) f(x)=x+2 より, h(x)=3x-10 (hof) (x)=g(x) より, f-1(x)=x-2 4-5 ん(x)= (gof-1)(x)=g(f'(x)) =3(x-2)-4=3x-10 ** h? 00: h? 00:0 合成関数 (gf) (x)=g(f(x)) (f°g) (x) は(ア)の結 果を利用する. y=f(x)とおいて Fot+税 まずh(y) を求める. h(y) をxの式で表 す。 hy → 3y-10 より, yにx を代入す ればん(x) が求まる. y=x+2 とすると, x=y-2より, |f-1(x)=x-2 注》例題128 (2) でん(x)=3x-10のとき, (hof)(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている. 第4章

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