Question

G

合成関数についてです。
(2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x)
なのですが
何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです。
合成関数を解く時右上の図をイメージしなければ
ならないのでしょうか？
(右上の図なくても解けるような気がするのですが、)

Check
例題128 合成関数
O
(1) f(x)=3x+1,g(x)=2x²-2,h(x)=xのとき,次の合成関数
を求めよ.
(ア) (fog) (x)
(イ) ((fog) oh) (x)
(2) 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hf) (x)=g(x) となる
関数ん(x) を求めよ.
考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう.
(1)(イ)((f°g)。h)(x) は, f°g=F と考えると,
(Foh)(x)=F(h(x)) となる.
(2) y=f(x) とおいて, y を上手く利用する.
つまり, (f)(x)=h(f(x))=h(y) となる.
(または、右のように f(x) の逆関数 f''(x)
A
を用いて考えてもよい)
解答 (1)()(fog) (x)=f(g(x))=f(2x2-2)
=3(2x²-2)+1=6x²-5
Focus
(イ) ((f・g)。h)(x)=(f-g) (h(x))
2
= = (ƒ • 9) (²₁) = 6(+²1)-5=(x-1)²-5
24
=(f.g) 2
2
(2) y=f(x) とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y)
したがって (hof) (x)=g(x) より,
1
h(y)=g(x)=3x-4
また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2
これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10
よって,
(別解) f(x)=x+2 より,
h(x)=3x-10
(hof) (x)=g(x) より,
f-1(x)=x-2
4-5
ん(x)= (gof-1)(x)=g(f'(x))
=3(x-2)-4=3x-10
**
h?
00:
h?
00:0
合成関数 (gf) (x)=g(f(x))
(f°g) (x) は(ア)の結
果を利用する.
y=f(x)とおいて
Fot+税 まずh(y) を求める.
h(y) をxの式で表
す。
hy → 3y-10
より, yにx を代入す
ればん(x) が求まる.
y=x+2 とすると,
x=y-2より,
|f-1(x)=x-2
注》例題128 (2) でん(x)=3x-10のとき,
(hof)(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている.
第4章

Answer 1

かきつばた

イメージだけで言うね。厳密には違うんだけどね。
逆関数を逆数っぽく扱うと、fの逆関数:1/fね
今(hㅇf)(x)=g(x)なんしょ？
これをマジで無理矢理ね
h×f=gと見るね。すると、
h×f×1/f=g/f
h=g/fだからg(x)にf(x)の逆関数を掛けると出る

G

解答ありがとうございます😊
イメージ分かりやすいです。
数学的な理屈も欲しいです。お願いします。

かきつばた

ざっくり言うと逆関数をf*(x)とすると
y=f(x)ならばx=f*(y)じゃん？
だからf*(f(x))=xじゃん
f*(y)=xだから