α=2i はどのようにして求めたのでしょうか？

基礎問 56 複素数列と極限 次の問いに答えよ. 1+i (1) W=1,Wn+1= 2 -wn (n=1,2,3, ...) をみたす数列{wn}につい て, wmnで表し,n→∞ のとき, wn が近づく点を求めよ. (2)=1+2i, Zn+1=- 1+i 2 -zn+1+i (n=1, 2, 3, ...) をみたす数列 {2h}について,znnで表し, n→∞ のとき, Zn が近づく点を求め 点wn (2) 縮小し 原点 Zn Ce 精講 55 (2)と同じ形の漸化式なので, wn はすぐに求まりますが, 極限は 実数と虚数で同じように考えてよいのでしょうか? 複素数 In+yni (In, yn:実数)は点(In, yn) と対応していることか ら,Wn=In+yni において, In→α, yn→β(n→∞) ならば,wn→a+Bi (n→∞) と考えられます。 だから,複素数列の極限は,wn=In+yniとおけば、2つの実数の数列{zn. {yn}の極限を考えることと同じです.しかし, こうすると2つの数列{x}, {yn}を考えることになり時間が2倍かかります.そこで,この基礎問を通して, {wn}のまま処理して,n→∞のとき, wn の近づく点を求めることを学びまし ょう。 解答 (1)数列{20m は,初項1,公比 1+2 の等比数列だから, +i\n-1 wn=1.1 1 2 +i\n-1 ここで = 4 4 √2 だから、100ml= n-1 2 . n→∞ のとき, |wn|→0 すなわち, n→∞のときwn は原点に近づく . 1+i. 参考 COS 2 = 1/127 (cos 1/4 + i sin 17 ) π 4)より、

マーカーを引いた部分が分かりません💦

86 第4章 極限 基礎問 49 関数の極限 (II) 次の式をみたす a,bの値を求めよ. (1) lim a√x+2x+8+6. x-2 3 (2) lim{vr-2x+4-(ax+b)}=0 精講 このタイプもIIBベク図で学習済みですが,ポイントになる考え 方は、不定形は 「極限値が存在しない」のではなく、 「存在する可能 性は残っている」ということです. (1) では, では、 →2のとき分母→0.このとき,「分子→0以外の定数」ならば、極 3 にはならない。よって, 極限値が 限は±∞となるので, れば,「分子→0」となる以外に可能性は残されていない。 になるとす 4 ただし,この考え方は必要条件になるので,最後に吟味(=確かめ) を忘れな 確実に いようにしなければなりません. 解答 (1) lim(x-2)=0 だから,与式が成りたつためには、少なくとも, x-2 lim(a√x2+2x+8 +b) = 0 すなわち, 4α+6=0 x-2 このとき, a√x'+2x+8+b=a√x²+2x+8-4a a(√2+2x+8-4)(√2+2x+8+4) √2+2+8+4 a(x-2)(x+4) √2+2x+8+4 5=46- a√2+2x+8+6 .. lim a(x+4) 3 =lim- x-2 x-2 =-a x+2√x²+2x+8+4 4 ∴a=1,b=-4 このとき, lim √2+2x+8-4 x-2 x-2 -=lim x+4 __3 x-2 √x²+2x+8+44 となり確かに適する. 【吟味 (2) lim エ→ とも

数列が収束しないとlimを分配できないのはわかるんですが、それを一つ一つ解答に書かないとダメですか?普通の計算問題だとそのまんま答え出すのに？、、

問 42 数列の極限 (II) (無限等比数列) 73 liman=r (収束) mn+1 注 第n項が 1+2" (-1)で表される数列の収束, 発散を次の各場 12-00 E r>1 のとき, limy”は発散しますが,逆数をつくれば0</1/1 <1 となり, lim 合について調べよ . 12-00 '=0 と収束させることができます. 次の(4)も同じ要 (1) r=1 (2) -1<r<1 (3) r>1 (4) r<-1 領です. 精講 等比数列 {r"} の極限,すなわち, limyの値によって次のよ うになります. 極限値0 (-1<r<1) 極限値1 (r=1) 収束 limr"= +8 (r>1) 発散 振動する (r≦-1) この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で 場合分けをすることができます。 しかし、この問題は式が分数の形をしていますから, limr", lim y"+1 を求 めたとしても不定形になる可能性があります. 72-00 12-00 解答 mn+1 an= 1+r" (r≠-1) とおく. (1)r=1 のとき, an=1/2 .. liman= =1/2束) 12-00 (2) -1<r<1 のとき, limr" = limy”+1=0 だから, n→∞ liman=0 (収束) 12-00 (3) r>1のとき, an=- n→∞ 0 0 10 以外の定数 r 分子, 分母をr” でわっ +1 ておく 01<1だから,lim =0 71α (4) r<-1 のとき, an= +1 -1<1/12<0だから, lim (1)"=0 7→8 r .. liman=r (収束) →∞ 注 極限を求める問題の解答をかくとき, うかつに lim 記号を分配し てはいけません. 極限が lim (an+bn) = liman+limb となるのは liman=a, limbn=β (α, 'B:定数) の形のとき n→∞ n→∞ すなわち, 数列 {a} と数列{6} がともに収束するときです. だから, 解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません. ポイント 「極限値0(-1<<1)] 収束 極限値1(r=1) ・limy”= n→∞ +8 (r>1) 発散 振動する (r≦-1) ・ うかつに lim 記号を分配しない 演習問題 42 第n項が man+1+1 2n+1 で表される数列の収束, 発散を調べよ. 第4章

(3)の問題で、なぜ黄色の線を引いたところが分かると、 よって、〜 になるのか分かりません

基礎問 94 94 第4章 図形の性質 95 95 56 円周角 A E** 22 (3) BC//EF だから,∠BCE = ∠CEF (錯角) 4 よって, BE=CF ∠BAE は BE に対する円周角で,∠CAF は CF に対する円周角だ △ABCにおいて, ∠A:∠B:∠C=5:3:1 A であり, 3点A, B, C を通る円の中心を0 線分AOの延長と円の交点をDとする. 円0において, 弦BCと平行に別の弦 から,∠BAE=∠CAF 110円 B C ポイント E F EF をひく. ただし, EF は線分 ODと交 OHAY DS) わり, 弧BD上に点Eがくるような位置にあるものとする. このとき,次の問いに答えよ. (1) ∠A, ∠B, ∠Cの大きさを求めよ. (2) BAD の大きさを求めよ. (3) ∠BAE = ∠CAF であることを証明せよ. ① 円において1つの弧に対する 円周角の大きさは一定で, その 弧に対する中心角の半分 ② 同じ円においては、円弧の長 さと中心角は比例するので円弧 の長さと円周角も比例する (演習問題56(2)) P 2a B WILSON 精講 (2) 求めるものを含む三角形をさがすと, それはAOBか △ADB. AOBは二等辺三角形という特殊性があるのでこちら に着目します。 ∠AOBは円周角と中心角の関係から求められます. (3) 円周角の性質より, BE=CF が示せればよいことがわかります。 08-09 注 ポイント①の性質は逆も成りたちます.すなわち, 2つの定点A,B 直線ABについて同じ側にある動点Pに対して, ∠APBが一定ならば、点P ABを弦とする, ある円周上に存在します。 (演習問題56(1) P. P P -> 解 答 (1) ∠C=α とおくと, ∠A=5a, ∠B=3a よって, a+3a+5α = 180° a=20° よって, ∠A=100° ∠B=60°∠C=20° 101 B A 演習問題 56 B (1) 右図の四角形ABCD において BD の長さを 求めよ.

なぜ2から1または0から1にxがなる時無限に±に値が増えていってるのですか？そういうものだと思ってやった方がいいんですかね？教えてくださいお願いします。

8 用息します. (タテ型漸近線) xa+0 lim f(x)=+∞(または-∞) あるいは lim_f(x)=+∞(または-∞)のどちらかが成りたてば, x-a-0

数学Ⅱの三角関数です。 赤線の部分がなぜこうなるのかが分かりません。 初学者にも分かるように教えてください🙏

118 第4章 三角関数 C 弧度法 これまでは、角の大きさを表すのに,直角の 1 90 である1度を単位と する度数法を用いてきた。ここでは、角の大きさを表す別の方法につい て学ぼう。 5 右の図で、点0 を中心とする半径1の円と 半直線 OX, OP の交点をそれぞれA,Bと する。このとき, XOP の大きさは弧ABの 長さに比例する。 P a B α ラジアン 0 ¥1 AX そこで, XOPの大きさを 弧AB の長さ 1ラジアン 30 αで表すこととし、 単位としては,ラジアン または弧度を用いる。 角の大きさのこのような表し方を「弧度法という。 例えば, XOP が 180° のとき, 弧ABの長さはであるから 180°ラジアン 15 となる。 また, 1ラジアンは, 弧ABの長さが1になるような角で 180 1ラジアン= ≒57.3° π である。一般に,次のことが成り立ち、下のような換算表ができる。 a π α ラジアン, 180 ラジアン 180 アン= (120) 度数法 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° π π π π 2 3 20 弧度法 0 5 6 4 3 2 3 3 6 π TC 2π 2 【注意】 弧度法では, 普通, 上のように単位のラジアンを略して書く。

S2nの式で、どこから1/n+1が出てきたんですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 125 2通りの部分和 S2n-1, S2 の利用 無限級数 1- 1 11 11 + + 2 2 3 3 + 1 S 4 211 00000 ①について (1) (1) 級数①の初項から第n項までの部分和をSとするとき, S2n-1, S2m をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数①の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 指針 (1) S2m-1 が求めやすい。 S2nはS2n=S2-1+(第2n項)として求める 基本 124 ゆき (2) 前ページの基本例題124と異なり、 ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, S, を1通りに表すことが困難で、(1)のように, S2n-1, S2n の場合に分けて調べる。 そして、次のことを利用する。 ! なる。 021-2()() TЯАНO TRAMO [1] limS2n-1= limS=Sならば limS=S 218 n→∞ [2] lim S27-1≠lim Son ならば n→∞ n→∞ 818 {S} は発散 4章 15 級 数 解答 (1) Szn-1=1-1/2 1 + 1 1 + 1 + -1+1/ 2 3 3 44< n 18-1-(121-1/2)-(12-1) (11) -1 S2n=S2n-1- 1 n+1 1 =1- n+1 (2)(1) から n→∞ n→∞ 24 よって limS=1 limSzn-1=1, limS2n=lim1 81U 81U n+1)=1 したがって, 無限級数 1 は収束して、その和は1 森のときにも①は成り立ち べての自然数について ①は成り立 株式 無限級数の扱いに関する注意点 自 2 ●部分和 (有限個の和)なら ( )でくくってよい。 2 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を、順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は、もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。

赤印のところの説明お願いします

数学Ⅱ-159 練習 平面上の点P(x,y)が単位円周上を動くとき、 15x+10xy-9ye の最大値と、最大値を与える 165点Pの座標を求めよ。 [学習院大) 点P(x, y)が単位円周上を動くとき x=cose, y=sine (0≤0<2) とおくことができる。 Q=15x²+10xy-9y2とすると Q=15cos0+10 cos Asin0-9sin'0 1+cos 20 1-cos 20 =15- +5 sin 20-9. 2 2 =12cos26+5sin20+3 =13sin(20+α)+3 ←x+y=1を満たす。 12 5 ただし、sina=13 COS α = 130<a<)とする。 ←αの値が具体的に求め られないときは,このよ Qが最大となるのは, 最大 sin(20+α)=1のときで, その最大値は 13-1+3=16 メ ー また、 002 より a≦20+α <4n+αであるから, うに表す。 結果的に α の値は得られないが, cos 0, sine の値を求め T sin(20+α)=1のとき 26+α= または 20+α= 2π 52 ることはできる。 [1] 20+α=-のとき 20=- π a また A= 4章 練習 [三角関数]

26の問題で、右のページの解説がよく分からなかったので、もう少し詳しく教えていただきたいです🙇

26 とする. 0 の方程式 3sin20-2(sin0 + cosb)-a=0 実数解をもつように、定数αの値の範囲を定めよ. ……………① が異なる3つの <考え方> まずは t=sin+cose とおき, ①をt を用いて表す. 次に, αを分離して2つのグ ラフの共有点を考える. tのとり得る値の範囲や, tと0の対応に注意が必要である.ename=1 (8) t = sin0 + cose とおくと. 8 nie+100+ Beooriasis 1-/2sin(0+) t= 4 OOより、+ π 1- nie. (0202+nie). 三角関数の合成 5 YA 1 1 このとき, 2 1sin(+4) ≦1 0=1+ √2 π 4 よって, -1≦√2 sin0+√2 (1-1 4 54 T より -1≤t≤√√2 0 11x √2 f=(sin+cos0)²=sin'0+2sindcosd+cos'0 =1+ sin20 より,sin20=f-1 ①は, ① は, 3(t-1)-2t-a=0 つまり, 3-2t-3=a ......② sin'0+ cos'0=1 sin20=2sincost 方程式 ①が解をもつのは,tの方程式②が1sts√20c 定数 αを分離する.

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。 何かコツや、式変形の対応デッキ... 続きを読む

基礎問 76 MAN AV 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ. (2) 数列の和 Sm= (1)をnで表せ。 (n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する. 両辺に2をかけて, 22k ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より) ..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1 よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ. (3) lim Sm を求めよ. (1) 考え方は2つあります。 ... 1 2 n (2) Sm = + 4° 4' +・・・+ ...... ② 4"-1 1/Sn= 1 n-1 n +・・・+ + ......3 4₁ 4"-1 4" ② ③ より 3 (IIB ベク4 ) Sn= + 1 1 n -(+) +...+ n 4' 4"-1 -Sn= 4 1 4" I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。 II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137 (2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121 S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。 (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。 bn≦a≦cm のとき .. Sn= n (3)(1)より2">n だから, (2")'>n . 4">n²=0<< 20< n 4 4-1 n lim40 だから、はさみうちの原理より lim 11-∞ n n - 4-1 -=0 limb= limcn=α ならば liman = α →00 11-00 この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) さらに, lim lim (14) "=0 より lim.S,=- 16 11-00 9 「ポイント 解答 (1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法) (x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n .. 2">n (解II) (数学的帰納法を使って示す方法) 2">n ...... ① (i) n=1のとき (左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ 演習問題 44 極限を求める問題の前に不等式の証明があれば, はさみうちの原理を想定する 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと 数学的帰納法を用いて証明せよ。 "k =215730 (n=1,2, …) とおく。このとき, (2) Sm= 2 k=1 1 n 3 3+1 (3) lim Sm を求めよ. 11-00 が成りたつことを示せ. CS CamScanner 第4章