2
| [Ch97] 直線y=ax+bが2つの放物線の両方と接するa, bの値[キートレーニングIIABC Challenge97]
直線 y=ax + b は2つの放物線y=x2 とy=-x2+4x-3の両方に接している。そのよ
うな a, b の組をすべて求めよ。
解答 (a,b)=2+√2,
解説
b)=(2+√2,-1/2-√z),(2-√2-12/23+√2)
y=ax+bとy=x2 からy を消去すると ax+b=x2
すなわち
x2-ax-b=0
......
①
y=ax+bとy=-x2+4x-3からyを消去すると
すなわち
x2+(a-4)x + b + 3 = 0
......
(2)
ax+b=-x2+4x-3
直線 y=ax+bは2つの放物線y=x2,y=-x2+4x-3の両方に接するから,xの
2次方程式 ①,②は重解をもつ。
①の判別式を D1, ② の判別式をDとすると
D1=a2+46, D2=(a-4)2-4(6+3)
①,②が重解をもつとき, D1=0, D2=0 であるから
a 2+ 46 = 0
..
③, (a-4)2-4(+3) = 0
③ + ④ から
a2+(a-4)2-12=0
すなわち, a-4a+2=0であるから a=2±√2
③ より, a=2+√2 のとき
b=-— — — (2 + √2)² = − 3 - √2
4
a=2-√2 のとき
2
b=-1/2(2-√2)=-1/23+√2
4
3
④
よって
(a, b)=(2+√2, -1/2-√2),(2-√2, -/1/3+√2)
