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演習 例題 200 曲線の接線に関する極限
関数f(x)=x2sin-
曲線 y=f(x) の接線をlm とする。 放物線y=
標を (an, bm) (ただし, an>0) とするとき
(1) an を n を用いて表せ。
解答
π
(1) f(x)=x2sin→から f'(x)=2xsin- .2
π (x>0) について, n
指針 (1) 曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線の方程式は -f (a)=f'(a)(x-4)
この問題では, 接線 ln の傾きを求めるときに, nπの三角関数の値 (特に, COST)に注
意する。 また, 放物線と直線ln の交点のx座標は,2つの方程式を連立させて求める。
(2) まずbm を求め, nbml を極限値が求められる形に変形。
(2) (1) から
よって
これを解いて
an> 0 であるから
(-1)'z (an)'=(-1)"+1.2(√nan-1)
2
y
b を求める際は,直線ln の式でなく放物線の式を利用すると極限値の計算がしやすい。
02058afa
n→∞
=lim
n-00
この直線と放物線y= (-1)"x2の交点のx座標が an であるから
2
を自然数とし,点
(−1)”ñ
2
(2) 極限値 limn|bn| を求めよ。
(m)=1/ -sinnл-2л√n cos nπ =(
=(-1)+1.2π√n (*) であるから、
接線 4, の方程式はy=f(1)(x-1) すなわちy=(-1)' +1.2z(√zx-1)
n→∞
(1) Vur
2πn
(√n+1+√√n) ² =lim
n40
200 小さい方から順に x1, X2, X3,
切片をyとする。
n→∞
a=-2√n±√An-1(-4)=2√n ±2√n+1
an=-2√n+2√n+1=2(√n+1-√n)
bn=
b₁ = (-1)" (an)² = (-1)". 2n( √n+1 = √n)²
limn|b|=lim2rn(√n+1-√n)2
2x cos
2π
x
2π
点(10) における
x2 と直線ln の交点の
一
π
x2
1+
+1/+
2
基本163
π
2
整理して (an)² +4√√nan−4=0
(*) sinnt=0,
COS = (-1)
nは自然数
東習 関数f(x)=e^sinx (x>0) について, 曲線 y=f(x)とx軸の交点のX
√(√n+1−√n)²
とみて、
1
分母・分子に(√n+1+√{n}
を掛ける。
とし,x=xにおける曲線 y=f(x)の接線の
x座標を
