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数学 高校生

(1)はこれ以外の解き方はありますか?

半径1の円に内接する正五角形形 ABCDE の1辺の長さをaとし,0=- 236 基本 例題151 3倍角の公式の利用 %am OOOO0 0-号のとする 2 5 (1) 等式 sin30+sin20=0 が成り立つことを証明せよ。 (3) aの値を求めよ。 (2) cos0 の値を求めよ。 (4)線分 ACの長さを求めよ。 (山形大) Ap.233 基本事項3 計>() 30+20=2x であることに着目。なお,0を度数法で表すと 72° である。 (1)の等式を2倍角。3倍角の公式を用いて変形すると。 (1)は(2)のヒント cOs 0 の2次方程式を導くことができる。0<cos0く1に注意して,その方程式を解く。 (3),(4)余弦定理を利用する。(4) では, (2)の方程式も利用するとよい。 解答 30=2元ー20 Sin 30= 3cin0-75in0 Sine=2SinC cosG 450=30+20 (1) 0=-xから 50=2元 よって sin30=sin(2rー20)=-sin20, sin30+sin20=0 3sin0-4sin°0+2sin0cos0=0 このとき したがって 43倍角の公式 sin30=3sin0-4sin'0 忘れたら,30=20+0とし て,加法定理と2倍角の公 式から導く。 (2)(1)の等式から sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って 3-4sin?0+2cos 0=0 3-4(1-cos'0) +2cos0=0 4cos'0+2cos 0-1=0 ゆえに 整理して =1+/5 4 |0<cos 0<1であるから Cos 0= 円の中心を0とすると,△OAB において,余弦定理により AB=0A?+OB?-20A·OBcos0 4 B E =12+12-2-1-1- 5-/5 2 a>0であるから 5-V5 a=AB= (4) AOAC において,余弦定理により 2 D AC=OA?+0C?-20A·OCcos20 =1+12-2-1-1-cos 20=2-2(2cos'0-1) =4-4cost0=4-(1-2cos0)=3+2cos0 AC>0であるから E B -(2)の(水)から。 AC= 3+2.-1+/5 4 5+V5 2 D 練習|(1) A-1co 3

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数学 高校生

別解の4行目のところから5行目に行く時に|-qベクトル|が|qベクトル|に変わったのは何故ですか?

=1, G=1 となる。そこで,ā+古をあ,ūで表して, まず」ā+のとりうる値の範 410 ベクトルの不等式の証明 (2) 重要 例題19 平面上のベクトルā, ūが12a+6|=1, lā-36|=1を満たすように動くと sG+|s-となることを証明せよ。 15ー20 5 重要18 7 指針> 条件を扱いやすくするために 2ā+6=D5, à-3万=q とおくと, 与えられた条件は 囲について考える。 a+6fはかを含む式になるから,p.409 重要例題18 (1) で示した不等式 o 1 を活用する。 … 21g|=D-4s||g- CHART|は万として扱う 解答 の, à-35=G… 2とおく。 26+6=5 (D×3+2)=7, (①-②×2)=7 から a, bの連立方程式 o (2a+b=p 0la-36=q を解く要領。 3→ 1 2- a=-カ+ 9, 7 よって,+5=5-号で、引-61-1であるから a+万=カ (16万パ-86G+16P) (5-の(5-) 49 --み 17 08122 8 → 49 49 けし のここで, -|ālspgslóllā, Iが=IG|=1であるから -13かgs1 -sに+fs+&からsは+= 25 したがって は+s 左の等号はあとなが反対 の向きのとき,右の等号は あとすが同じ向きのとき、 9 17 8 49 17 8 ゆえに, 49 -ハi+6P<25 49 49 49 49 それぞれ成立。 3 5 7 7 + に さ る+,0ハ3+15 別解(上の解答3行目までは同じ) +6=カ--より,7(ā+6)=45-Gであるから, 不等式 き -5|<i+<+5を利用すると 1451-|-G1s145+(-の)s|45|+|-| 41ー1<145-6154|引+6 =lG|=1であるから 3317(G+)|55 すなわち +s号 D.409 重要例題18(2) で示 Eした不等式。āの代わりに A -4を,5の代わりに - よって を代入。 33|45-G1s5 ゆえに 5 平面上のペクトルa, ūが156-25|=1, |2à-35|=1を満たすように動くとき。 3 練習 19 35 sa-bsとなることを証明せよ 15+1 0 101

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