漸化式の問題です。(1)のb n+1からb nがすぐに求められるのはなぜでしょうか。解答の「nと関係のない〜」から分かりません。

5 319 (1) b n+1=an+1+p(n + 1) + q 12+V (n+1)+q=TO =(3an+8m)+p(n+1) +q =3a+8n+pn+p+q =3(bm-pn-g)+8n+pn+p+q =36„+(8-2p)n+p-2g 数列 {6} が等比数列であるとき, nと関係のな い定数を用いてb+1=b"と表されるから, すべての自然数nに対して (8-2p)n+p-2g=028 が成り立つ。 すなわち 8-2p=0, p-2g=0 これを解くとp=4,g=2 (2) b=a+4n+2とおくと bn+1=3b", b1=a1+4+2=4 よって, 数列{bm} は初項4,公比3の等比数列 であるから したがって b=4.3"-1 n an=b-4n-2 =4.3"-1-4n-2

2項間漸化式を目指して2枚目のように解きましたが、答えが違いました。なぜでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n)- 次の式で定められる数列の一般項 αを求めよ. (1) 1=1, m+1=20n+n (n=1, 2, 3, ...) (2) a1=4, n+1=40-2n+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1f(n)はnの式)……型の漸化式を解く には,変形してan+1+g(n+1)=p{an+g(n)}となるようなg(n)を見つけて,{an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい. (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n) と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて, ☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った。 (i) f(n)=Aq"(g=p, A は定数) の場合, g(n)=Bq"として,☆が成り立つように定数Bを定め an+1 an A ればよい.また, an+1= pan+Ag" の両辺を "+1で割って + pn+1 pn p 4(1). ここで. an ,= bn とおいて, bm+1=bn+ A n 9 として階差型の解き方 (前頁) に持ち込む手でもよい。 解答圜 p" (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A=1,BA=0 ... B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1) より, {an+n+1}は公比2の等比数列 . .. an=3.2"-1-n-1 よって, an+n+1=2"-1 ( 41+1+1)=3・2n-1 (2) +1=4a-2n+1 を 4n+1で割って, An+1 an 1\n+1 4n+1 4m 2 an a1 1\n+1 bm- == 4" とおくと, b1=2=1, bn+1=bn- 2 となるので,n≧ 2 のとき, 1\n-1 1- 1k+1 =1- k=1 k=1 左辺は A (n+1) になることに注 意. 【 (2) の別アプローチ】 f (n) が Aq” の形の場合は、 を qn+1で割ると,典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を2+1で割って n-1 bn=b₁+ (b+1-br)=1—', =1/1/11(1/1)-1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって、 2=4m {/12+(1/2)"}-2-4-1+2" 【別解】 (2) 4n+1+A.2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=4a+4A2"-A2"+1=4an+A2"+1 と条件式を比べて, A=-1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 n を求めよ. (1) 41=2,n+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) a1=1,4n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) (3) α1=1,n+1=2 1 ant an+1 an =2- 1 2"+1 2" an Cn= とおくと, C+1=2c-L 2" これから解く. (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(antf(")) となる f(n) を探す (2)階差に持ち込む n-1 (n≧1) n(n+1) (岐阜大 教後)

(イ)を2枚目のように、「2」を入れ忘れて、３項間漸化式で特性方程式が重解を持つ場合として、等比数列の形にして解きました。 このミスを正そうとして2を加えようと思いましたが、どこに加えればいいか分かりませんでした。そもそもこの考え方が違うのでしょうか。

漸化式典型的なタイプに帰着 -+1によって定義される数列{a} を考える. ここでbn= (ア)条件 α=2, an+1= an-l 3+an とおくとき,bn+1 を by を用いて表せ.また,{a} の一般項を求めよ. an-1 (東京経済大) (イ) 数列{a} を a=1, a2=2, a,+2-24n+1+an=2(n=1,2,3, …)によって定める. bn=an+1-an とおくとき, by をnの式で表せ。 また, annの式で表せ。 (工学院大 ) an+1=pan+α 型 an+1=pan+g(p, q は定数で, 0, 1) ...... ① に対して,a=pa+g...... ② を満たすように定数αを定め、 ①②よりan+1-α=p(an-α) これより{a-α}が公比』の等比数 列であることを用いて解く. n-1 an+1-an=f(n) 型 階差が分かっている数列の一般項は, 階差を足し上げて求める. n≧2のとき an=a1+(az-a)+(as-a2)+..+(an-an-1)=f(1)+(2)+f(n-1)=a+f(k) 上式はn≧2のとき通用する式で, n=1のとき成り立つか否かは確認が必要. 問題によっては, an-an-1=g(n)が分かっている場合もあり、 公式を丸暗記して適用するとミスしやすい. 上式のシグ マ記号の上下の数 (初めと終わり) は, そのつど具体的に確認しよう. 解答 + an-l (ア) an+1= 1 +1 ① 3+an bn= an-1 ( (1日)=1+( 1 bn+1= == an+1-1 1 an-1 3+an (an-1)+4 -=1+ an-1 an-1 4 an-1 =46+1 分数式は分子を低次に. 3+an :.bn+1=46+1 ... ......③ 1 :.bn+1+ =4b₂+ <>a=4a+1 1 ②より, a1=2のとき, b1=1. を満たすαは 3 {{+*} は公比4の等比数列であり,bn+1/2=4"-1 (01+1/2) An ③④より求める. b1+- 3 4"-1 bn= = ②より, an 3 1 bn +1= 3 4"-1 3 4"+2 3 +1= >± 9. an-1=1 4"-1 (イ) an+2-2an+1+an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=bn+1-b" が2なので, bnti bn+1-bn=2. また, b1=42-41=1 Pn よって,{bm}は初項 1, 公差2の等差数列で, b=1+2(n-1)=2n-1 2のとき、作品もん an=a1+(az-a)+(a3a2)+…+ ( an-an-1) =a+b1+b2+... +bn-1 =a+ b1+bn-1. 2 1+{2(n-1)-1} (n-1)=1+ 2 よって、求める式は,,=1+(n-1)²=n-2n+2 (n=1,2,3, ...) (n-1) (n=1でもOK) {6} は等差数列. その和は, (項数) (初項) + (末項) 2

黄色のマーカーの所理解できません。 教えてください🙇‍♀️

比数列の共通項 うよ。 等比数列{6} が as=b3, a=b, as≠bs 00000 重要 例題 15 等比数列と対数 373 [神戸薬大] 基本 1,9 数列{a} は初項1, 公比5の等比数列である。 a1+a2+......+α≧10100 を満 たす最小のを求めよ。 ただし, log102=0.3010 とする。 [学習院大 ] p.365 基本事項 3 基本 11 rの関係式を導く CHART & SOLUTION 1章 2 いるから, {an} の公差d,{6} の公比の関係式 対数の利用 r 三れるからrを消去するのは困難である。 まずは rとすると .pn-1 ..① 不等式の左辺を計算して整理すると 5"≧4・1010+1 このままでは,nの値を求めるのは難しい。そこで、対数(数学IIの内容)を利用するとよ い。 なお,5"≧4・10100+1 のままでは、両辺の常用対数をとって も右辺の計算がうまくできない。 そこで, nが自然数のとき 54・10100 +1と5">4・101 は同値であるから, 5410100 の両辺の常用対数をとって計算するとよい。 5">4-10100 5" 24-10100++1 4-10100 ・410100+1 等比数列の和と指数の問題 等比数列 5-1 1 = 16 ← d を消去する方針。 解答 ② から 6d=3(2-1) ③ から 6d=2(3-1) a+a2+......+an= 1-(5"-1) 5-1 =1 (5"-1) a(r"-1) Sn= r-1 ←2m²-r-1 =(r-1)(2r+1) よって,与えられた不等式から11(5-1) 10100 整理して 5" ≧4・10100+1 ゆえに,5">4・10100 を満たす最小の自然数nを求めればよ すべてのnに対して い。 an=1,6=1 両辺の常用対数をとると nlog105>10g104+100 n (1-10g102)>210g102+100 log to 2=0.3010 であるから 右辺を少なくしても 式の形からnに影響を 及ぼさない。 ←10g105"=nlog105, log104-10100 =10g104+10g1010100 =210g102+100, a=1+ (n-1)(-3). 10 0.6990n> 100.6020 10g105=10g10 2 1006090 -log. 10-19102

この2問の解説をお願いします 解説を見ても分かりませんでした💦

白玉5個, 赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から. 2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率 を pn で表すことにする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, n≧1 とする. (1) pn を求めよ. (2) pn を最大にする n を求めよ.

写真は問題を例題として 確率の最大値について説明しているのですが、 （「精講」部分） 説明の意味が理解できません どなたか 言葉での分かりやすい説明、そしてこれが成り立つことで なぜ最大値を求められるのか 説明して頂きたいです💦

白玉5個, 赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から、 2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率 をPnで表すことにする. このとき, 次の問いに答えよ。ただし、 n≧1 とする. (1) (2) 精講 おい n を求めよ. n を最大にするn を求めよ. 条件に文字定数nが入っていると,確率はnの値によって変化する ので,最大値が存在する可能性があります. 確率の最大値の求め方 は一般に,関数の最大値の求め方とは違う考え方をします.それは、 変数が自然数の値をとることと確率 ≧0 であることが理由です.この考え方は、 パターンとして頭に入れておかなければなりません。 その考え方とは次のようなものです。いま、すべての自然数に対してal のとき,ある自然数Nで, n≦N-1 のとき,n+1>1 pn n≧N のとき, Dn+1 <1 pn が成りたてば,nで表されている確率pn は, Þ₁<Þ2<*······<þN>þN+1>...... Ad が成りたちます. だから n = N で最大とわかります。 すなわち, pn+1 pn と1の大小を比較すればよいのです.ここで, pn+1>1Pn+pn>0 pn ですから, Pr+1-0の大小を比較してもよいのですが、 確率の式とい のは、ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです。

(2 )について質問です。 写真の印をつけた部分までは解けたのですが、nが11でなく12になる理由が分かりません。 nが12の時は負になるので11が解だと考えたのですが、どこが間違っているのか教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

たとえば,f(n)=n(n+3) などです。 この関数は n=2で最大になりま 2n すので,各自やってみましょう. 習問題 119 ある袋の中に, n個の白玉が入っていて, そのうち5個に赤い印 がついている. その袋から, 5個の玉を同時にとりだしたとき 2 個の玉に赤い印がついている確率を とおく. ただし, n≧8 と する. このとき, 次の問いに答えよ. (1) pm nで表せ. (2) n を最大にするnを求めよ.

グラフのどこをどう見たら🟰が求められるのかさっぱりわからないんです。問題文もただグラフを見て問題に答えろというだけです。解き方わかる方教えてください

Use the graph below to answer the questions 7 6 y 5 3 2 1 7-6-5 -3 20 1 2 14 15 6 7 T -1 -2 -3 4 left / lim f(x)= | x-3 lim f(x)=/o x-3+ xlim3 f(x) = / f(-3)= und ) lim_ƒ(x) = 2 lim f(x) = 5 x-2- lim f(x) x-2 Jubright = lim f(x) = DNE x→2 f(2) = | x-1 lim f(x) = / x-6 f(6)= 3 lim f(x)= PNE x-1 life

高一数学です。（2）がわかりません。なぜ絶対値なのに二乗するんですか？

基本 例題 43 対偶を利用した命題の証明 文字はすべて実数とする。 対偶を考えて,次の命題を証明せよ。 (1)x+y=2 ならば 「x≦1 または y≦1」 (2)2 +626 ならば 「|α+6|>1 または |α-6|>3」 CHART & SOLUTION 対偶の利用 00000 p.76 基本事項 6 2章 6 命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用 (1)x+y=2 を満たすx, yの組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ る。そこで,対偶が真であることを証明し, もとの命題も真である, と証明する。 条件 「x≦1 または y≦1」 の否定は 「x>1 かつ y>1」 (2) 対偶が真であることの証明には、次のことを利用するとよい。 解答 A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。) (1) 与えられた命題の対偶は 「x>1 かつ y>1」 ならば x+y=2 これを証明する。 x> 1, y>1 から x+y>1+1 すなわち x+y>2 よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 麺 (2) 与えられた命題の対偶は 「la +6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+b2<6 これを証明する。 ←pg の対偶は g⇒ b ←x>a,y>b ならば x+y>a+b (p.54 不等式の性質) 0 論理と集合 = 0 される |a+6|≦1, |a-b≦3から (a+b)≤12, (a-6)²≤32 ←|A|=A2 >1 よって (a+b)2+(a-b)2≦1+9 ゆえに 2(a²+b²)≤10 よって a²+b²≤5 ゆえに、対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 ← ' + b'≦5 と 56 から a2+62<6 S POINT 条件の否定条件p, gの否定を、それぞれp, gで表す。 かつ または -PNQ=PUQ またはq かつ PUQ=PnQ PRACTICE 43° 文字はすべて実数とする。 次の命題を, 対偶を (1)x+ya ば 「xa-b または y>b」 (2)xについての方程式 ax+b=0 がただ1つ して証明せよ。 もつならば

(シ)(ス)(セ)がわかりません。どこからZが出てきたのかもわかりません。 どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

第4回 第 第5問 (選択問題(配点 16 袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。 この袋から, 3個の球を同時に取り出 し, それらの球の色を確認して袋に戻すという試行をTとする。 Tを1回行ったと き取り出した3個の球のうち赤球の個数をYとする。 第1回 (2)Tを1回行うごとに, Y = 0 であれば3点を獲得し, Y = 0 であれば1点を獲得 するとする。 Tを繰り返し50回行ったとき,得点の合計をZとする。このとき,50回のうち Y = 0 となった回数を W とする。 ア ウ (1) P(Y=0)= P(Y=1)= イ I 確率変数 W は ク に従うので,W の平均はケコ Wの分散は サ である。 × X Z = シ W + スセ であるから, 確率変数 Zの平均はソタ Zの標準 カ であり, 確率変数Yの平均 (期待値) は オ Yの分散は である。 キ 偏差は チ ツ である。 × (数学II,数学B,数学C 第5問は次ページに続く。) ク については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 ⑩ 正規分布 N (0, 1) ② 正規分布 N 50, ④ 正規分布 N ( 108 ) ① 二項分布 B(0, 1) ③二項分布 B 50, 4) ⑤二項分布 B (10,8)